Aulas
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Sumário
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20/9/04
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Apresentação:
programa; bibliografia; normas de avaliação;
funcionamento das aulas práticas. Introdução ao
cálculo matricial: dimensão de uma matriz;
operações com matrizes e suas propriedades
(multiplicação por um escalar, soma, diferença).
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22/09/04
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Operações
com
matrizes e suas propriedades (cont.): multiplicação de
matrizes e forma matricial de um sistema de equações
lineares.
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24/09/04
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Matriz
dos coeficientes de um
sistema e matriz aumentada. Operações elementares sobre
um sistema e sobre a respectiva matriz aumentada. Matriz em escada de
linhas, pivots e característica. Método de
Eliminação de Gauss. Característica e
relação com o número de incógnitas livres e
não livres de um sistema.
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27/09/04
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Sistemas
Homogéneos.
Inversão de matrizes: matriz identidade e suas propriedades;
matriz elementar e multiplicação de uma matriz por uma
matriz elementar; definição de inversa de uma matriz;
unicidade da inversa. |
29/09/04
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Inversão
de matrizes
(cont): inversa do produto de matrizes; inversa de matrizes
elementares; cálculo da inversa usando o método de
eliminação de Gauss-Jordan; aplicação
à resolução de sistemas de equações
lineares. |
1/10/04
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Determinantes:
Produto elementar
de entradas, permutação, inversão, sinal de uma
permutação; definição e cálculo do
determinante de uma matriz 3x3.
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6/10/04
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Definição
de
determinante de uma matriz nxn. Propriedades dos determinantes.
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8/10/04
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Propriedades
dos determinantes
(cont.). Fórmula de Laplace para o cálculo de um
determinante.
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11/10/04
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Fórmula
de Laplace e
cálculo da inversa de uma matriz. 1º Teste. |
13/10/04
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Regra
de Cramer para a
resolução de sistemas. Introdução aos
espaços lineares.
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15/10/04
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Definição
e
Exemplos de espaços lineares. Definição de
subespaço linear.
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18/10/04
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Combinação
linear;
Expansão linear; Independência linear.
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20/10/04
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Definição
de base
de um espaço linear e exemplos.
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22/10/04
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Bases(cont):
Dimensão de
um espaço linear. Coordenadas de um vector numa base.
Núcleo de uma matriz.
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25/10/04
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Definição
de
Espaço das linhas e espaço das colunas de uma matriz.
2º Teste.
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27/10/04
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Bases
para os espaços das
linhas e das colunas de uma matriz.
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29/10/04
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Teorema
da dimensão e sua
aplicação a sistemas de equações lineares.
Matriz de mudança de base.
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3/11/04
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Introdução
às transformações lineares.
Definição e exemplos.
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5/11/04
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Representação
matricial de uma transformação linear relativamente a
bases fixadas no espaço de partida e de chegada. Exemplos.
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8/11/04
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Núcleo
e
Contradomínio de uma transformação linear. Teorema
da dimensão. Composição de
transformações lineares. Tranformações
lineares injectivas, sobrejectivas e bijectivas. Isomorfismo.
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10/11/04
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Propriedades
das
transformações lineares injectivas.
Definição de inversa de uma transformação
linear. 3ºTeste.
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12/11/04
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Propriedades
das
transformações lineares invertíveis. Matriz de
mudança de base.
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15/11/04
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Subespaços
invariantes:
definição e exemplos.
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17/11/04
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Valores
próprios e
vectores próprios de transformações lineares e de
matrizes. Equação característica e
polinómio característico.
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19/11/04
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Representação
matricial de uma transformação linear relativamente a uma
base de vectores próprios. Matrizes diagonalizáveis.
Multiplicidade algébrica e geométrica de um valor
próprio. Exemplos.
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22/11/04
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Matrizes
diagonalizáveis
(cont.). Introdução às Equações
diferenciais ordinárias.
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24/11/04
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E.D.O
de 1ª ordem de
coeficientes constantes, homogéneas e não
homogéneas (solução geral e exemplos).
Redução de uma EDO de coeficientes constantes de ordem
superior à primeira a um sistema de equações
diferenciais de 1ª ordem.
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26/11/04
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Sistemas
de
equações diferenciais de 1ª ordem lineares.
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29/11/04
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Definição
de produto interno em espaços lineares reais e complexos.
Exemplos. Norma, projeção ortogonal, desigualdade de
Cauchy-Schwarz.
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3/12/04
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Desigualdade
triangular; definição de ângulo. Conjuntos
ortogonais e ortonormados. Coordenadas de um vector relativas a uma
base ortogonal e a uma base ortonormada. Complemento ortogonal de um
subespaço.
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6/12/04
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Projecção
ortogonal de um vector num subespaço e no seu complemento
ortogonal. Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.
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10/12/04
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Teorema
de Pitágoras. Teorema da melhor aproximação.
Equações de planos em R^3.
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13/12/04
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Equações
de rectas em R^3. Produto externo e sua interpretação
geométrica. Determinante e produto externo de vectores.
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15/12/04
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Transformações
hermiteanas, anti-hermiteanas e unitárias. Valores
próprios destas transformações.
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17/12/04
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Teste
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