Introdução às Superfícies de Riemann

(Tópicos de Geometria, Mestrado em Matemática Aplicada)

2º Sem. 1998/99

Descrição da Cadeira:


Uma superfície de Riemann é uma variedade complexa de dimensão 1. As superfí cies de Riemann compactas podem ser obtidas como o conjunto de zeros de polinómios homogéneos, e assim tornam-se curvas algébricas dadas por equações explicitas num espaço projectivo. Deste modo, as superfícies de Riemann podem ser estudadas tanto no contexto da geometria diferencial complexa como no da geometria algébrica.

  Esta cadeira pretende ser uma introdução a estas importantes áreas da matemática, dando-se ênfase a exemplos, cálculos e construções explícitas, o que, sendo em geral difícil, se torna fácil no caso das superfícies de Riemann.

Pré-requisitos : Análise complexa de uma variável (a topologia algébrica necessária, como por exemplo a Cohomologia de Cech, será desenvolvida desde as bases).

Esboçco do programa :

  1. Topologia das superfícies de Riemann: Definição e exemplos; propriedades elementares; classificação topológica.
  2. Cohomologia de feixes:    Definição de feixes; cohomologia de Cech, exemplos e aplicações; o problema de Mittag-Lefller.
  3. Superfícies de Riemann compactas:    Divisores e fibrados linha; o teorema de Riemann-Roch; dualidade de Serre; os teoremas de Abel e de Jacobi.
  4. Uniformização:    O teorema da aplicação de Riemann; Uniformização Fucshiana; espaços de moduli e de Teichmüller.
     
     

  Havendo tempo e interesse, poderão ser cobertos alguns tópicos mais avançados como Variedades Jacobianas e Prym, o problema de Schottky, curvas elípticas, funções teta, fibrados vectoriais, relações com sistemas integráveis, relações com a aritmética, etc.

Referências : Todos os livros referidos encontram-se disponíveis na biblioteca e a referência básica será [M]:
[M]  Miranda, R., Algebraic curves and Riemann surfaces, American Math. Soc., 1994 
[F]  Forster, O., Lectures on Riemann surfaces, Springer Verlag, 1981
[FK]  Farkas, H. and Kra, I., Riemann surfaces, Springer Verlag, 1980
[GH]  Greenberg & Harper, Algebraic Topology: a first course, 1981.

Para mais informa\coes contactar o prof. Carlos Florentino. Tel. 8417127, e-mail: cfloren@math.ist.utl.pt


 
 

Introdução às Superfícies de Riemann

(Tópicos de Geometria)

2º Sem. 1998/99

Programa:



 

[1ª Parte] Superfícies de Riemann e Curvas Algébricas: 
  1. Definição de superfície de Riemann e exemplos. [M, Ch.I]
  2. Definição de curva algébrica afim e projectiva. [M, Ch.I]
  3. Classificação topológica das superfícies compactas. [Ma]
  4. Funções meromorfas e aplicações holomorfas. [M, Ch.II]
  5. A fórmula de Riemann-Hurwitz. [M, Ch.II]
  6. Superfícies hiperelípticas. [M, Ch.III]
  7. Àlgebra exterior e formas diferenciais. [M, Ch.IV]
  8. Integração. [M, Ch.IV]

     
      [2ª Parte] Cohomologia de feixes:

  9. Breve introdução à topologia algébrica; homotopia. [GH]
  10. Homologia e cohomologia. [GH]
  11. Feixes e pré-feixes, sequências exactas. [M, Ch.IX]
  12. Cohomologia de Cech [M, Ch.IX]
  13. Exemplos e aplicações; o problema de Mittag-Leffler. [M, Ch.IX]
  14. Divisores, grau, equivalência linear. [M, Ch.V]
  15. Funções e formas associdas a um divisor. [M, Ch.V]

     
      [3ª Parte] Superfícies de Riemann compactas:

     

  16. O lemma de Dolbeault e o teorema de Finitude. [F, §13,14]
  17. Dualidade de Serre. [M, Ch.VI]
  18. O teorema de Riemann-Roch. [M, Ch.VI]
  19. Aplicações. [M, Ch.VII]
  20. A variedade Jacobiana. [M, Ch.VIII]
  21. Os teoremas de Abel e de Jacobi. [M, Ch.VIII]
  22. Divisores e fibrados linha, o grupo de Picard. [F, §29]
  23. Problema da inversão de Jacobi. [F, §21]

     
      [4ª Parte] Tópicos especiais:

  24. Morfismos para Pn. [M, Ch.V]
  25. Superfícies de Riemann e teoria de cordas.
  26. O problema de Riemann-Schottky e a conjectura de Novikov.
  27. O teorema da Uniformização.
  28. Espaços moduli e de Teichmüller.

 
 
Referências:
[M]  Miranda, R., Algebraic curves and Riemann surfaces, Amer. Math. Soc., 1994
[F]  Forster, O., Lectures on Riemann surfaces, Springer Verlag, 1981
[Ma]  Massey, J., Algebraic topology: an introduction., Springer Verlag, 1989.
[GH]  Greenberg & Harper, Algebraic Topology: a first course, 1981.

Séries de Exercícios (5/99)

Trabalhos propostos (5/99)


Para mais informações contactar o prof. Carlos Florentino. Tel. 8417127, e-mail: cfloren@math.ist.utl.pt