22 Séculos a Medir Área e Geometria Simplética
Modelos Matemáticos em Medicina
Grafos e Códigos
As Opções Reais na Matemática Financeira
Introdução à Criptografia
Uma das descobertas favoritas de Arquimedes (287-212 AC) foi o facto de a área da superfície de uma esfera entre dois planos paralelos que a intersectam depender apenas da distância entre esses planos e não da zona onde intersectam a esfera. Neste mini-curso vamos ver como este resultado, com mais de 22 séculos, pode ser interpretado como um primeiro teorema da Geometria Simplética desenvolvida nas últimas décadas e ser usado como ponto de partida para introduzir e estudar alguns dos seus conceitos mais básicos.
A Criptografia motiva a investigação em Matemática por estar ligada a conjecturas fundamentais da Complexidade Computacional (eg, P=NP), à Teoria dos Números, bem como à Computação e Informação Quânticas. Neste curso introdutório pretende-se dar uma perspectiva dos problemas centrais da criptografia moderna, das suas limitações e do seu futuro.
A recente Teoria das Opções Reais vem sendo utilizada no apoio à decisão de investimento óptimo. Neste momento, em que os mercados apresentam grande volatilidade, é importante saber contabilizar os ganhos esperados das decisões de investimento, de forma a decidir não com base no presente mas tendo em conta expectativas futuras. Em particular, um decisor deve saber ponderar o valor de diferimento do exercício de uma opção de investimento versus investimento imediato.
Neste curso apresentaremos as bases da teoria das opções reais, nomeadamente o princípio de optimalidade de Bellman em contraponto com o NPV (net present value). Mencionaremos ainda alguns resultados de matemática financeira sobre o pricing de contratos de opções. Usaremos exemplos concretos recorrendo, por exemplo, à política de lançamento de novos produtos da Apple e das empresas ligadas à indústria automóvel.
Neste curso vamos estudar grafos e códigos, misturando argumentos de Combinatória com ferramentas de Álgebra Comutativa. Vamos ver que ideais monomiais e binomiais (em anéis de polinómios adequados) contêm informação suficiente sobre o problema original, e serão estes ideais o nosso principal instrumento de ligação entre a Combinatória e a Álgebra.
Em Medicina, a modelação matemática e a simulação computacional constituem meios não invasivos de diagnóstico e tratamento com um impacto crescente. Trata-se de uma área multidisciplinar, de estreita colaboração entre matemáticos, biólogos e médicos para a resolução de problemas de grande complexidade. Apesar dos enormes avanços na modelação matemática, métodos numéricos, capacidade dos computadores modernos e técnicas de imagiologia médica, o caso particular da simulação do fluxo sanguíneo constitui ainda um grande desafio, devido à especificidade da fisiologia humana e à complexidade geométrica e funcional do sistema cardiovascular. Neste curso pretende-se abordar os aspectos fundamentais da modelação matemática e simulação computacional do fluxo sanguíneo no sistema circulatório, destacando a sua aplicação a casos patológicos e a sua utilização como ferramenta de apoio à prática clínica.
