1. Breve apresentação de problemas da Física-Matemática.

Equação de Laplace, do calor, das ondas. Condições iniciais e de fronteira.

2. Diferenciação Numérica.

Fórmulas de diferenciação numérica baseadas em interpolação e

coeficientes indeterminados.

Operadores de diferenças progressivas, regressivas e centradas.

Propriedades básicas dos operadores de diferenças.

3. Derivação Fraca

Delta de Dirac - aproximação por funções regularizadoras.

Operadores Lineares. Produto de Convolução.

Aproximação de dados com ruído através de filtros.

Interpolação Trigonométrica.

Transformação de Fourier Discreta e FFT.

4. Dedução de esquemas de diferenças finitas para

Equações com Derivadas Parciais

Consistência, convergência e estabilidade.

Teorema da Equivalência de Lax.

5. Equação das ondas.

Esquemas explícitos e ímplicitos.

Condição de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL).

Estabilidade segundo o critério de Von-Neumann.

Esquema de Lax, Lax-Wendroff e Leap-Frog.

6. Equação do calor.

Esquemas explícitos e ímplicitos.

Esquema de Crank-Nicolson, esquemas theta.

Esquema de DuFort-Fraenkel.

7.  Equação de Black-Scholes - um modelo em

Matemática Financeira

Opções de Compra e Venda.

Equação de Black-Scholes.

Redução à equação da difusão.

8. Equações de advecção-difusão

Equação de transporte. Problemas de poluição atmosférica.

Implementação de esquemas upwind.

9. Exemplo de uma equação não linear

Equação de Bürgers.

Análise dos esquemas com o termo não linear convectivo.

Ondas de choque, condição de entropia.

Viscosidade artificial.

10. Extrapolação de Richardson aplicada a métodos de

diferenças finitas

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* Implementação prática dos esquemas na linguagem Mathematica.

Bibliografia

• Ames, W. F., Numerical Methods for Partial Differential Equations, Academic Press, 1977.
• Atkinson, K. E., An introduction to Numerical Analysis, Wiley, 2nd. ed., 1989.
• Euvrard, D., Résolution numérique des équations aux derivées partielles, Masson, 1990.
• Lapidus, L. & Pinder G. F., Numerical Solution of Partial Differential Equations in Science and Engineering, Wiley, 1999.
• Marchuk, G. I., Methods of Numerical Mathematics, Springer-Verlag, 1982
• Richtmyer, R. D., Morton, K. W., Difference Methods for Initial Value Problems, Interscience Publ., 1967.
• Thomas, J. W., Numerical Partial Differential Equations: Finite Difference Methods, TAM 22, Springer-Verlag, 1995.

Horário

• A primeira semana de aulas será a semana de 20 de Março de 2000.
• Horário previsto:
• Terça-feira: 17h-18h30 (Sala P5... a confirmar).
• Quarta-feira: 14h-17h30 (Laboratório LMAT).

Avaliação
A avaliação consiste numa componente de avaliação contínua e num exame. A avaliação contínua consiste na apresentação de 4 relatórios relacionados com as aulas práticas. É considerada a seguinte proporção:

Final= 0.6 Exame + 0.4 Relatórios

Cada relatório terá um peso de 10% relativo à nota final.

Exames

1º Exame: 1 de Julho de 2000 (10h00)
2ºExame: 14 de Julho de 2000 (10h00)
 
 

Número	1º Relat.	2º Relat.	3º Relat.	4º Relat.	1º Exame	2ºExame	N. Provisoria
44545	15	17	18	16	18		17
44552	15	18	17	16	18		17
44558	13	14	13(*)	16	6.5	8	10
44569	16	19	20	16	19		19
45916	17	17	15(*)	19	17		17
45932	16	17	14(*)	19	11.5	15	16
45934	19	19	17(*)	19	17.5	15.5	18

(*) Discussão de trabalho (combinar um dia da próxima semana, semana de 24 Julho).