para Sistemas Não Lineares |
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Consideremos, por exemplo, um sistema da forma:
x1 - x2 sin ( x1 ) = 0 |
x1 - x2 + cos ( x1 x2 ) = 0 |
De forma análoga ao caso unidimensional, podemos pensar num Método do ponto fixo para Rn, começando por estabelecer a equivalência:
No nosso exemplo, poderiamos escrever:
A partir deste momento temos definida uma função iteradora G e obtemos um método do ponto fixo :
Iterada inicial: x(0) |
Iterar x(n+1) = G ( x(n)) |
Definição:
Seja G : D C Rn ---> Rn.
Se ||G(x) - G(y) || < L || x - y || para quaisquer x, y em D
e para um certo L < 1,
então diz-se que G é contractiva em D
relativamente à norma ||.|| .
Teorema: ( do Ponto Fixo em Rn )
Seja D um conjunto fechado e
G : D C Rn ---> Rn,
tal que
demonstração :
||x(n+m) - x(n) || = ||G ( x(n+m-1)) - G ( x(n-1)) || < L ||x(n+m-1) - x(n-1) || < ... < Ln ||x(m) - x(0) || ---> 0
quando m, n tendem para infinito, já que L < 1, e porque
||x(m) - x(0) ||
é limitado, já que os termos da sucessão estão em D, que assumimos ser limitado.
Concluimos assim que é uma sucessão de Cauchy num conjunto fechado,
logo o limite z pertence a D.
ora se eles são distintos podemos dividir por ||z - w || e obtemos L > 1 , o que contradiz a hipótese de contractividade!
Corolário:
Da demonstração anterior podemos deduzir as seguintes majorações para os erros:
Observação:
O caso dos métodos iterativos para sistemas lineares, que vimos, podem ser englobados
neste contexto considerando
Para verificarmos que uma função é contractiva, não é necessário usar sempre a definição. Tal como no caso unidimensional, em que utilizamos a derivada, podemos aqui estabelecer uma condição suficiente, mais simples, que envolve agora a noção de matriz Jacobiana :
Teorema:
Seja D um conjunto fechado e convexo em Rn, e seja
G uma função C1(D).
Se
então a função G é contractiva em D, para a norma do máximo.
Observação:
A determinação dos domínios de convergência, para uma certa função iteradora,
constitui ainda hoje um problema em aberto, devido à complexidade inerente.
Para termos uma ideia dessa complexidade, basta pensar numa função
iteradora G extremamente simples:
que corresponde a iterar, nos complexos, zn+1 = zn2 + c .
Se considerarmos, por exemplo, c = 0.3 - 0.4 i, o domínio de iteradas inicias z0, para as
quais a sucessão (zn) é limitada define um conjunto fractal (chamado conjunto de Julia)...
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De forma análoga ao que fizemos no caso unidimensional, podemos deduzir aqui um método, inspirado no método de Newton, cuja ordem de convergência é usualmente quadrática.
Pretende-se resolver F ( x ) = 0 e reparamos que se pode estabelecer, numa vizinhança da solução, a equivalência
Podemos assim definir uma função iteradora
G( x ) = x - JF-1( x ) F ( x )
a que aplicamos o método do ponto fixo.
Se quisermos verificar que o método converge, podemos usar o teorema do ponto fixo
aplicado à função G, já que no caso vectorial não há critérios simplificados
para o método de Newton, como estabelecemos para uma dimensão!
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Como dissemos, a convergência deste método, a existir, é (normalmente) quadrática, tendo-se: