Regra dos Trapézios

Regra dos Trapézios (simples)

Trata-se do caso mais simples de Fórmula de Newton-Cotes fechada. Neste caso, consideramos n=1 e temos dois nós de integração:

x0 = a, x1 = b

e obtemos para os valores dos pesos:

A0 = A1 = ( b - a ) / 2

( isto pode ser obtido, quer através da resolução do sistema do método dos coeficientes indeterminados, quer através dos integrais dos polinómios de Lagrange, l0(x) e l1(x) )

Temos assim a Regra dos Trapézios (simples):

T( f ) = I1( f ) = ( f(a) + f(b) ) ( b - a ) / 2

que corresponde exactamente ao valor da área do trapézio definido pela recta interpoladora!

Teorema (do Valor Intermédio para Integrais):
Sejam f , g funções contínuas em [a,b].
Se g não muda de sinal no intervalo [a, b] temos :

Erro da Regra dos Trapézios (simples)

Pretendemos agora determinar majorações para o valor absoluto do erro
E( f ) = I ( f ) - T ( f )
Sabemos que
E( f ) = I ( f ) - T ( f ) = I ( f ) - I ( p1 ) = I ( f - p1 )
Da fórmula do erro de interpolação temos
f (x) - p1(x) = f [ a, b, x ] ( x - a ) ( x - b )

e como ( x - a ) ( x - b ) não muda de sinal no intervalo [a, b] podemos aplicar o Teorema do Valor Intermédio para Integrais e obtemos

e supondo que f é C2[a, b], obtemos a fórmula do erro:

Regra dos Trapézios (Composta)

Como é claro, se usassemos a regra dos trapézios simples para calcular o integral num intervalo [a, b], iamos obter uma aproximação grosseira do valor do integral, por isso, interessa-nos decompor esse intervalo em sub-intervalos cada vez mais pequenos, e nesses sub-intervalos aplicamos a regra dos trapézios simples.
Trata-se, neste caso, de fazer uma aproximação, da função integranda, usando um spline linear.

Para simplificar, consideramos que o tamanho desses sub-intervalos é constante = h.
Assim, definimos h = ( b - a ) / N, onde N é o número de sub-intervalos ( = número de nós - 1), e temos:

xi = a + i h
portanto, o valor do integral é igual à soma dos integrais nos sub-intervalos.
logo, aplicando a regra dos trapézios simples a cada um desses sub-intervalos, obtemos
.
Reparando que há termos que aparecem repetidos na soma, podemos simplificar a expressão, e obtemos a Regra dos Trapézios Composta:

Erro da regra dos trapézios composta

Como já obtivemos a fórmula do erro para a regra simples, o erro da regra dos trapézios composta será a soma dos erros cometido em cada sub-intervalo, ou seja :
.
como N = h ( b - a ), e como podemos aplicas o teorema clássico do valor intermédio à média das 2as derivadas, obtemos a fórmula do erro da regra dos trapézios composta: