Integração Numérica

Neste capítulo vamos estudar métodos para aproximar a função primitiva F, resultante de integrar uma função conhecida f. Poderiamos encarar este problema numa perspectiva geral, em que o objectivo seria aproximar uma solução de uma equação diferencial, já que o este caso corresponde a encontrar F tal que F' = f , mas isso não faz parte do programa.

Mais concretamente, basta-nos concentrar na integração de uma função f num certo intervalo [a, b]. A ideia base é aproveitar a aproximação por interpolação polinomial, que já estudámos, para obter uma aproximação razoável da função integranda através de polinómios, que são funções fáceis de integrar.
Um exemplo simples é aproximar a função por rectas interpoladoras nos pontos a e b,

claro que, neste caso, a aproximação pode estar desajustada, e podemos melhorar a aproximação, usando, por exemplo, um polinómio de grau superior ou um spline linear.

Dum modo geral, com vista a aproximar o integral

vamos considerar fórmulas de integração (também designadas fórmulas de quadratura do tipo:
onde x0 , ... , xn são pontos conhecidos, pertencentes ao intervalo [a, b], designados por nós de integração, e os coeficientes A0 , ... , An são coeficientes a determinar, independentes da função f, que designamos pesos.

Um critério habitual, para determinar os pesos na fórmula de quadratura, é exigir que ela dê o valor correcto do integral de polinómios de um certo grau.

Assim, se a fórmula verificar

In( qm ) = I ( qm )
para qualquer polinómio qm de grau < m, dizemos que a fórmula de quadratura tem, pelo menos, grau m .

Se, para além disso, tivermos

In( qm+1 ) =/= I ( qm+1 )
para um certo polinómio qm+1 de grau m+1, dizemos que a fórmula de quadratura tem grau m.

Método dos Coeficientes Indeterminados

Como, quer o integral, quer a fórmula de quadratura, são operadores lineares, exigir que a fórmula tenha pelo menos grau m:
In( a0 + ... + amxm ) = I ( a0 + ... + amxm )
equivale a
a0 In( 1 ) + ... + am In ( xm ) = a0 I ( 1 ) + ... + am I ( xm )
para quaisquer a0 , ... , am. Ou seja, equivale a exigir que
In ( 1 ) = I ( 1 )
In ( x ) = I ( x )
...
In ( xm ) = I ( xm )
substituindo as expressões, obtemos um sistema
Para que o sistema seja possível e determinado, impômos que m = n, obtendo-se assim
onde a matriz do sistema é a transposta da matriz de Vandermonde que, como vimos, é invertível, se os nós forem distintos.
Temos, assim, dados os nós de integração, uma solução única para os pesos A0 , ... , An .

  • Reparando que o valor da fórmula de quadratura corresponde ao valor do integral do polinómio interpolador, obtemos, através da fórmula de interpolação de Lagrange :
    e assim, os pesos podem também ser dados através dos integrais dos polinómios de Lagrange li( x ).

    Fórmulas de Newton-Cotes

    Vamo-nos concentrar agora em estudar algumas das fórmulas de quadratura mais comuns, como sejam, a Regra dos Trapézios e a Regra de Simpson, que fazem parte uma classe mais geral de fórmulas de quadratura, designadas Fórmulas de Newton-Cotes.

    Nestas fórmulas consideramos os nós de integração igualmente espaçados

    xi = x0 + i h
    para i = 0, ... , n, onde h é constante = (xn - x0) / n .
    E dividimos as fórmulas em dois grupos principais

  • Fórmulas de Newton-Cotes Fechadas
    exige-se que x0 = a, xn = b

    Exemplos :

  • Regra dos Trapézios
  • Regra de Simpson

  • Fórmulas de Newton-Cotes Abertas
    exige-se que todos os xi estejam no intervalo ]a, b[

    Exemplo :

  • Regra do Ponto Médio