Localização de Raízes

Traçando o gráfico da função, podemos ter uma ideia aproximada da localização das raízes, mas para assegurarmos rigorosamente que, num intervalo, existe uma e uma só raiz, recordamos dois teoremas elementares da análise:

Teorema (do Valor Intermédio):
Seja f uma função contínua no intervalo [a,b].
Se f(a) f(b) < 0 então existe pelo menos uma raiz da equação f(x) = 0 no intervalo [a,b].

O teorema do valor intermédio garante apenas a existência. Para garantirmos a unicidade, podemos usar :

Teorema (de Rolle) :
Seja f uma função diferenciável no intervalo [a,b].
Se f ' (x) =/= 0 para todo o x em [a,b], então existe no máximo um z em ]a,b[ tal que f(z) = 0.

Podemos garantir a unicidade, num caso mais geral, desde que a função f seja estritamente monótona.

Estes teoremas não nos dão um método para aproximar a solução do problema, no entanto, podemos nos basear no T. Valor Intermédio para desenvolver um método iterativo muito simples:

MÉTODO da BISSECÇÃO

Sabendo que no intervalo [a, b] a equação f(x) = 0 tem apenas uma e uma só raiz , vamos construir
intervalos [ an, bn ] com metade do comprimento dos anteriores, onde asseguramos a existência da raiz.

O método pode-se esquematizar num ciclo :

Intervalo Inicial : [ a0, b0 ] = [ a, b ]
Repetir : 1) xn+1 = ( an + bn) / 2
2) Se f (xn+1) f(an) < 0
Então an+1 = an; bn+1 = xn+1
Senão an+1 = xn+1; bn+1 = bn
Até que :
f(xn+1) = 0 ou |xn+1-xn| < E

Usamos o critério de paragem |xn+1-xn| < E onde o valor E>0 é um valor suficientemente pequeno pois neste caso o erro absoluto verificará | en+1 | < ½ |an - bn| = |xn+1 - xn| < E.

Para além disso, podemos determinar facilmente um majorante do erro para uma iterada xn a partir do comprimento do intervalo inicial:

| en| < ½ |an-1 - bn-1| = (1 / 2)n | a0 - b0|