1. Primitivação. Cálculo Integral: somas superiores e inferiores; integral de Riemann; condições de integrabilidade; integrabilidade de funções contínuas e das funções monótonas; primeiras propriedades do integral; teorema da média; integral indefinido; teorema fundamental do cálculo; regra de Barrow; fórmulas de integração por partes e por substituição; aplicações do cálculo integral: comprimento de linhas; áreas de figuras planas; volumes de sólidos de revolução; resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.
2. O espaço Rⁿ: estrutura algébrica e topológica ; continuidade e limite. Cálculo diferencial em Rⁿ: derivadas parciais e direccionais; diferenciabilidade e primeiras propriedades; derivada da função composta; derivadas de ordem superior à primeira e teorema de Schwarz; teorema de Taylor,; Fórmula de Taylor para funções de uma e mais variáveis e aplicações à pesquisa de extremos.

Apostol, T.M. Calculus , vols. I e II, John Wiley, 1976 e 1975.

Campos Ferreira, J. Introdução à Análise Matemática, Gulbenkian,1987.

Campos Ferreira, J. Introdução à Análise em Rⁿ , AEIST, 1978.

Campos Ferreira, J. Notas de Análise em Rⁿ , AEIST, 1987.

Edwards, C.H., Penney, D.E. Calculus with Analytic Geometry , 5^th Edition, Prentice Hall International, Inc., 1998.

Ferreira dos Santos, A. Análise Matemática I e II, Texto de Apoio, 1994.

Exercícios de Análise Matemática I e II, I.S.T., Departamento de Matemática do IST.

Aulas teóricas previstas: 38 aulas distribuidas por 13 semanas

Primitivação e Cálculo integral: 15 aulas

Cálculo em Rⁿ : 23 aulas

1ª semana: Primitivação. Métodos gerais de primitivação.

2ª semana: Cálculo integral: Integral superior e inferior. Condições de integrabilidade. Integrabilidade de funções contínuas e monótonas. Propriedades do integral. Teorema da média do cálculo integral.

3ª semana: Continuação das propriedades do integral. Teorema da média do cálculo integral. Integral indefinido.

4ª semana: Teorema fundamental do cálculo. Regra de Barrow. Métodos gerais de integração. Integração por partes e por substituição. Primitivação de funções racionais.

5ª semana: Aplicações do cálculo integral: áreas de figuras planas, comprimentos de linhas, volumes de sólidos de revolução e resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.

6ª semana: Espaço linear Rⁿ: domínios, gráficos e linhas de nível de funções escalares definidas em Rⁿ.

7ª semana: Estrutura algébrica e topológica em Rⁿ. Limite de sucessões em Rⁿ.

8ª semana: Funções escalares e vectoriais em Rⁿ. Continuidade; caracterização da continuidade por sucessões; continuidade das funções coordenadas.

9ª semana: Propriedades das funções contínuas em compactos. Continuidade da função inversa. Conjuntos conexos; continuidade em conexos.

10ª semana: Limites em Rⁿ. Limite e prolongamento por continuidade. Limites relativos a um conjunto, limites direccionais.

11ª semana: Introdução ao cálculo diferencial em Rⁿ: derivadas parciais e direccionais de funções escalares. Diferenciabilidade. Diferenciabilidade e continuidade.

12ª semana: Gradiente e matriz derivada. Funções vectoriais de classe C¹. Diferenciabilidade das funções de classe C¹. Derivada da composta. Derivadas parciais de ordem superior à primeira. Teorema de Young e de Schwarz.

13ª semana: Linhas e superfícies em R³: plano tangente e normal a uma superfície. Diferenciais de ordem superior à primeira. Fórmula de Taylor para campos escalares. Aplicações da fórmula de Taylor na determinação de extremos de funções.