Análise Matemática III A

LEAero, LEBiom, LEFT, LMAC, LCI - Outono 2005

Sumários das aulas teóricas


    Parte I Variedades em Rn

  1. (12/Set.) topologia em Rn - abertos, coberturas, compactos, continuidade
  2. (13/Set.) derivação de funções de Rn em Rm - diferenciabilidade, matrizes jacobianas, derivadas parciais
  3. (15/Set.) invertibilidade global e local de funções, exemplos, teorema da função inversa, esquema da demonstração, jacobiano

  4. (19/Set.) teorema da função implícita, exemplos, relação com o teorema da função inversa, derivadas da função implícita
  5. (20/Set.) variedades, exemplos, parametrizações locais, conjuntos de nível vs. gráficos de funções
  6. (22/Set.) extremos (não condicionados), derivadas de ordem superior, fórmula de Taylor em Rn, aplicação ao estudo de pontos críticos

  7. (26/Set.) extremos condicionados, gradiente, regra dos multiplicadores de Lagrange, espaço tangente, espaço normal

  8. Parte II Integração em Rn

  9. (27/Set.) partições de intervalos em Rn, funções em escada, integrabilidade à Riemann de funções limitadas em intervalos limitados
  10. (29/Set.) integração em Rn - Riemann vs. Lebesgue, medida nula e conteúdo nulo, exemplos de conjuntos com conteúdo nulo

  11. (3/Out.) conjuntos numeráveis, exemplos de conjuntos com medida nula, propriedades válidas q.t.p. (quase em toda a parte)
  12. (4/Out.) funções limite superior, integrabilidade à Lebesgue de funções limitadas em conjuntos limitados, exemplos, propriedades
  13. (6/Out.) integrais iterados, teorema de Fubini, exemplo, ideia da demonstração

  14. (10/Out.) teste 1
  15. (11/Out.) aplicações e exemplos de integrais iterados, integração em conjuntos que não são intervalos, casos em R2
  16. (13/Out.) integrais iterados em R3, aplicações físicas (volume, centro de massa, momento de inércia, etc.), exemplos

  17. (17/Out.) mudança de coordenadas, definição, teorema para integrais, ideia da demonstração, exemplos, coordenadas polares
  18. (18/Out.) coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas, exemplos em cálculo de integraiss
  19. (20/Out.) aula cancelada por motivo de saúde

    Parte III Formas Diferenciais

  20. (24/Out.) covectores, espaço dual de Rn, covectores-r, consequências de multilinearidade e alternância
  21. (25/Out.) covectores-r, bases standard, exemplos, produto exterior, associatividade, super-comutatividade
  22. (27/Out.) formas diferenciais, formas-1, diferenciais dxi, derivada exterior de uma função, formas-2, formas-r

  23. (31/Out.) teste 2
  24. (1/Nov.) feriado
  25. (3/Nov.) formas diferenciais em R3, produto exterior de formas diferenciais, derivada exterior de formas

  26. (7/Nov.) propriedades da derivada exterior, gradiente, rotacional, divergência, formas fechadas vs. exactas, lema de Poincaré, potenciais
  27. (8/Nov.) pullback de covectores e de formas, propriedades, exemplos
  28. (10/Nov.) aula cancelada por motivo de saúde

    Parte IV Integração em Variedades

  29. (14/Nov.) revisão de variedades, parametrizações, cartas, coordenadas, mudança de coordenadas, exemplos
  30. (15/Nov.) integração de funções sobre subconjuntos de variedades, partição da unidade
  31. (17/Nov.) integração de formas sobre subconjuntos de variedades, orientação de espaços vectoriais e de variedades, exemplos

  32. (21/Nov.) teste 3
  33. (22/Nov.) casos clássicos de integração em variedades: integral de linha (para campos escalares ou vectoriais), integral de superfície
  34. (24/Nov.) apanhado de integração em variedades, preparação para o teorema de Stokes: domínio regular, orientação normal exterior

  35. (28/Nov.) versões do teorema de Stokes: teor. divergência, teor. Green, teor. Gauss-Ostrogradsky, teor. clássico de Stokes e versão geral
  36. (29/Nov.) domínios seccionalmente regulares, homotopia, lema de Poincaré para domínios simplesmente conexos
  37. (1/Dez.) feriado

  38. (5/Dez.) aplicações e exemplos de integrais de linha de campos vectoriais, campos conservativos
  39. (6/Dez.) demonstração da versão geral do teorema de Stokes
  40. (8/Dez.) feriado

    Parte V Revisões e Complementos

  41. (12/Dez.) teste 4
  42. (13/Dez.) teoremas de convergência para integrais de Lebesgue
  43. (15/Dez.) derivada de uma função dada por um integral: regra de Leibniz

  44. (19/Dez.) teste de recuperação

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Última actualização: 19 de Dezembro de 2005