Cálculo
Diferencial e Integral I
AFA - 1º semestre - 2022/2023
Corpo
Docente:
António
Bravo- antonio.j.v.bravo@tecnico.ulisboa.pt
Pedro
Martins Rodrigues - pedro.martins.rodrigues@tecnico.ulisboa.pt
Programa
Números
reais. Números
naturais. Princípio de indução matemática. Densidade dos números racionais e
irracionais no conjunto dos reais.
Sucessões. Sucessões limitadas e monótonas.
Sucessão convergente. Cálculo de limites. Subsucessões. Sucessão contractiva.
Funções
reais de variável real. Continuidade e diferenciabilidade. Continuidade e limite. Funções
contínuas em intervalos: Teoremas de Weierstrass e de Bolzano. Continuidade da
função inversa. Diferenciabilidade. Regras operatórias da derivação. Derivada
da função composta. Derivada da função inversa. Teoremas de Rolle e de
Lagrange. Regra de Cauchy e indeterminações. Fórmula de Taylor.
Integral de
Riemann. Definição
do integral de Riemann. Critérios de integrabilidade. Integrabilidade de
funções monótonas e limitadas. Propriedades do integral. Integral indefinido.
Teorema fundamental do cálculo.. Métodos gerais de integração. Integração por
partes e por substituição. Integração de funções racionais e irracionais.
Integração de funções trigonométricas.
Séries. Séries numéricas. Condição
necessária de convergência. Série geométrica. Operações algébricas com séries.
Séries absolutamente convergentes. Critério geral de comparação. Critério de
D'Alembert. Majoração do erro da soma aproximada de uma série. Séries de
potências. Séries de Taylor. Definição de funções transcendentes elementares.
Bibliografia
• R. G. Bartle, D. Sherbert, Introduction to Real Analysis, John Wiley, 3ª
ed., 2000.
• A. Bastos, A. Bravo. Cálculo Diferencial
e Integral I, Texto de apoio às aulas., 2010.
• A. Bastos, A. Bravo. Cálculo Diferencial e Integral I, Complementos
ao texto de apoio às aulas, 2014.
• J. Campos Ferreira. Introdução à Análise
Matemática, Fundação Gulbenkian, 8a ed., 2005.
• S. Ghorpade, B.Limaye, A Course in Calculus and Real Analysis, Springer, 2006.
• J. P. Santos, Cálculo numa variável real, IST
Press, 2013.
• M. Spivak, Calculus, 3rd Edition, Cambridge University Press,
2006.
• Exercícios de Análise Matemática I e II,
IST Press, 2005.
• W. Trench, Introduction to Real Analysis, Trinity University, 2013.
Avaliação de conhecimentos
A avaliação de conhecimentos consiste em 3 testes. O
primeiro teste realiza-se a 15 de Novembro de 2022 e o segundo a 13 de Dezembro
de 2022, ambos com a duração de 45 minutos e o terceiro, com a duração de 1
hora, a 26 de janeiro de 2023. A classificação final será obtida através da
fórmula NF=T1.0,3+T2.0,3+T3.0.4. Ao exame de recurso podem comparecer todos os
alunos que não tenham tido aprovação na disciplina ou que pretendam melhorar a
classificação obtida.
Os alunos com classificação final superior a 17
valores podem ser convocados para se apresentar a exame oral. A não realização
deste exame oral limita a classificação máxima a 17 valores.
Textos de apoio:
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Fichas
de problemas para as aulas práticas e estudo complementar.
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