Séries de Taylor
A unicidade da representação de uma função por uma série de potências em torno de um ponto.
Obtenção de séries de Taylor á custa de séries conhecidas.
Exemplos.
Material de estudo:
Na aula anterior introduzimos as séries de potências e vimos que elas podem se usadas para representar uma larga classe de funções (a que chamaremos de analíticas) através de uma série que tem como somas parciais os polinómios de Taylor de ordem \(n\) finita.
Nesta aula, a última com matéria da disciplina, vamos consolidar este conceito e mostrar algumas técnicas de obtenção de séries de Taylor a partir de outras conhecidas.
Os objecivos principais do estudo do material desta aula são:
Material de estudo: Veja, além dos exemplos deste guia de estudo, os exercícios resolvidos 3 da secção 5.2 da lista [S] .
Pode-lhe ser útil visualizar as aulas em video 38 e 39 do Prof. Miguel Abreu disponível em [MA].
Na aula anterior vimos que, sob determinadas condições muito latas, uma função \(\;f(x)\;\) pode ser dada, numa vizinhança de um determinado ponto \(\;a\;\), pela soma de uma série de potências específica: a sua série de Taylor em torno desse ponto \(\;a:\;\) \[f(x)=\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n\qquad \text{onde}\quad c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}.\]
Surge então a questão: se soubermos que uma função é dada pela soma de uma série de potências em torno no ponto \(\;a\;\) terá essa série que ser necessariamente a série de Taylor em torno desse ponto?
Por exemplo, tomemos a função \[f(x)=\frac{1}{1-x}.\] Sabemos que, para \(\;x\in D=\left]-1,1\right[,\;\) esta função dá exactamente a soma da série geométrica: \[f(x)=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+\dots,\] a qual é um caso particular de série de potências centrada no ponto \(a=0.\) Será esta série a série de Taylor de \(\;f(x)=\dfrac{1}{1-x}\;\) em torno do ponto \(\;a=0?\;\) Neste caso é muito fácil constatar que sim: basta derivar sucessivamente a função \(f(x)\) e substituir \(a=0\) em cada uma das derivadas. Constatamos então que \(\;f^{(n)}(0)=n!,\;\) resultando para os coeficientes da série de Taylor \(\;c_n=1,\;\) ou seja, é a série geométrica.
Mais geralmente temos
Proposição. Unicidade da representação de uma função por uma série de potências.Seja \(\;f\;\) uma função de classe \(\;C^\infty\;\) (ou seja, tem derivadas de todas as ordens) numa vizinhança \(I\) de \(a\) e é tal que, para todo \(x\in I,\) \[f(x)=\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+c_3(x-a)^3+\dots\] Então, esta série é necessariamente a série de Taylor de \(\;f\;\) em torno do ponto \(a\), ou seja, \[c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!},\qquad n=0,1,2,\dots\]
Exemplo 1. Seja \(\displaystyle\; f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n+1}\;\) para \(\;x\in\left]-1,1\right[\;\) (mostre que este é o intervalo de convergência desta série). Trata-se de uma série de potências centrada em \(a=0\) e, em virtude da proposição atrás, esta é a série de Taylor daquela função \(f\) em torno de \(a=0\) e, portanto, para \(n=0,1,2,3\dots,\) podemos calcular as derivadas \(\;f^{(n)}(0)\;\) mesmo sem se conhecer a expressão explícita de \(\;f(x):\;\) \[\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=c_n=\frac{1}{n+1}\quad\Rightarrow\quad f^{(n)}(0)=\frac{n!}{n+1}\,.\]
Exemplo 2. \(\;f(x)=\dfrac{1}{2-x},\;\) em torno de \(\;a=0.\;\). Então, usando a série geométrica, neste caso, na variável \(y=x/2:\) \[\frac{1}{2-x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-x/2}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x}{2}\right)^n=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{2^{n+1}}.\] Esta é a série de Taylor de \(f(x)\) em torno de \(a=0\). Intervalo em que esta igualdade é válida: é dada pelo intervalo de convergência da série de potências. Assim, a segunda igualdade é válida sse \(\;\displaystyle\left|\frac{x}{2}\right|\lt 1\;\) ou seja, se \(\;|x|\lt 2.\;\)
Mais geralmente, procedendo exactamente do mesmo modo, para qualquer constante positiva \(c\) temos, \[|x|\lt c\quad\Rightarrow \quad \frac{1}{c-x}=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{c^{n+1}}\,.\] Podemos então calcular a série de Taylor da seguinte função racional:
Exemplo 3. \(\;f(x)=\dfrac{1}{(2-x)(3-x)},\;\) em torno de \(\;a=0:\;\) \[\frac{1}{(3-x)(2-x)}=\frac{1}{2-x}-\frac{1}{3-x}=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{2^{n+1}}-\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{3^{n+1}} =\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2^{n+1}}-\frac{1}{3^{n+1}}\right)x^n.\] Da segunda igualdade infere-se que o intervalo em que esta identidade é válida é dado pelas condições \(|x|\lt 2\) e \(|x|\lt 3,\) ou seja, \(|x|\lt 2.\)
Exemplo 4. \(\;f(x)=\dfrac{1}{1+x^2},\;\) em torno de \(\;a=0:\;\) \[\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{1-(-x^2)}=\sum_{n=0}^\infty (-x^2)^n=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n}=1-x^2+x^4-x^6+\dots\] Pela segunda igualdade podemos deduzir que o intervalo de validade desta representação é \(\;|-x^2|\lt 1\; \) que é equivalente a \(\;|x|\lt 1.\;\)
Observação: Repare que, neste caso os coeficientes da série de Taylor são: \[c_{2n+1}=0, \qquad c_{2n}=(-1)^n,\qquad \text{para }n=0,1,2,\dots\] Suponhamos que é pedido \(\;f^{(73)}(0).\;\) Como \(k=73\) é ímpar, temos \(c_{73}=0\) e, portanto, \(f^{(73)}(0)=73!\cdot c_{73}=0.\)
Suponhamos agora que é pedido \(\;f^{(82)}(0).\;\) Como \(\;k=82\;\) é par, temos \(\;c_{82}=(-1)^{41}=-1\;\) e, portanto, \(\;f^{(82)}(0)=82!\cdot c_{82}=-82!\;\)
Exemplo 5. \(\;f(x)=\dfrac{1}{2-x},\;\) em torno de \(\;a=3.\;\). Neste caso, a série de potências escreve-se em termos de potências de \(\;x-3\;\), não de \(\;x\;\). Simplifiquemos fazendo a mudança de variável \(\;y=x-3,\;\) ou seja, \(\;x=y+3.\;\) Então, \[\frac{1}{2-x}=\frac{1}{2-(y+3)}=-\frac{1}{1+y}=-\frac{1}{1-(-y)}=-\sum_{n=0}^\infty (-y)^n=\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}y^n =\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}(x-3)^n.\] Esta é a série de Taylor de \(f(x)\) em torno de \(a=3\). Intervalo em que esta igualdade é válida: da segunda igualdade, \(\;\displaystyle\left|-y\right|\lt 1\;\) ou seja, se \(|x-3|\lt 1\), ou ainda, se \(2\lt x\lt 4.\)
Proposição: Derivação e integração de séries de potênciasSeja \(\;f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n\;\) com raio de convergência \(\;R\;\). Então, para todo \(\;x\;\) tal que \(\;|x-a|\lt R\;\)
Aqui, as primitivas são as que se anulam em \(\;x=a\;\). Podemos também escrever \(\;\displaystyle Pf(x)=\int_a^x f(t)\,dt.\;\)
- \(\displaystyle f'(x)=\sum_{n=0}^\infty \left(c_n(x-a)^n\right)'=\sum_{n=1}^\infty nc_n(x-a)^{n-1};\)
- \(\displaystyle Pf(x)=\sum_{n=0}^\infty P\left(c_n(x-a)^n\right)=\sum_{n=0}^\infty \frac{c_n}{n+1}(x-a)^{n+1}.\)
Exemplo 6. \(\;\displaystyle f(x)=\ln(1-x)\;\) com \(\;a=0.\;\) Temos \[\ln(1-x)=-P\left(\frac{1}{1-x}\right)=-P\left(\sum_{n=0}^\infty x^n \right) = -\sum_{n=0}^\infty P(x^n)=-\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n+1}}{n+1}=-\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n} =-1-\frac{x}{1}-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\dots,\] sendo esta igualdade verdadeira para \(|x|\lt 1.\)
Exemplo 7. \(\;\displaystyle f(x)=\operatorname{arctg}x\;\) com \(\;a=0.\;\) Temos, usando o exemplo 4. acima (se não o tivéssemos já feito teríamos que o fazer agora) \[\operatorname{arctg}x=P\left(\frac{1}{1+x^2}\right)=P\left(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n}\right) =\sum_{n=0}^\infty P\left((-1)^n x^{2n}\right)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} =x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\dots\]
O que dita o intervalo de validade desta expressão é a segunda igualdade que é válida sse \(\;|x|\lt 1.\;\)Exemplo 8. \(\;\displaystyle f(x)=\frac{1}{(5+x)^2}\;\) com \(\;a=0.\;\) \[\frac{1}{(5+x)^2}=-\left(\frac{1}{5+x}\right)'=-\frac{1}{5} \left(\frac{1}{1-(-x/5)}\right)' =-\frac{1}{5}\left(\sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{x}{5}\right)^n\right)' =-\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(-1)^nx^{n}}{5^{n+1}}\right)'=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}nx^{n-1}}{5^{n+1}}\] expressão válida quando \(\;\left|-\dfrac{x}{5}\right|\lt 1,\;\) ou seja, quando \(|x|\lt 5.\)
Já conhecemos as séries de Taylor em torno de \(\;a=0\;\) da exponencial, seno e cosseno (ver aula anterior). A partir destas tabém se podem construir outras.
Exemplo 9. \(\;\displaystyle f(x)=e^x\;\) com \(\;a=3.\;\) Como no exemplo 5. fazemos \(\;y=x-3,\;\) ou seja, \(\;x=3+y.\;\) Então, \[e^x=e^{3+y}=e^3e^y=e^3\sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{e^3}{n!}(x-3)^n,\] válida para todo \(\;x\in\mathbb{R}\,.\)
Exemplo 10.\(\;\displaystyle f(x)=xe^{x^2}\;\) em torno de \(\;a=0.\;\) \[ xe^{x^2}=x\sum_{n=0}^\infty \frac{(x^2)^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{n!} \] válida para todo \(\;x\in \mathbb{R}\,.\;\)
Exemplo 11.\(\;f(x)=\cosh x,\;\) em torno do ponto \(\;a=0.\;\) \[\cosh x=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})=\frac{1}{2}\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}+\sum_{n=0}^\infty\frac{(-x)^n}{n!}\right) =\sum_{n=0}^\infty \frac{1+(-1)^n}{2n!}x^n=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{(2k)!},\] válida para todo \(\;x\in\mathbb{R}.\;\) Observe que na dedução anterior usámos,) \[ \frac{1+(-1)^n}{2n!}=\begin{cases} 0 &\text{ se } n=2k+1,\quad k=0,1,2,\dots\\ \frac{1}{(2k)!} &\text{ se }n=2k,\quad k=0,1,2,\dots \end{cases} \] Compare a série do \(\;\cosh x\;\) com a de \(\;\cos x!\)