Aula teórica 36

Séries de potências
Motivação: representação de funções por séries de potências (série de Taylor).
Intervalo de convergência.
Exemplos

Material de estudo:

Esta aula é dedicada a séries de potências. Trata-se de séries que, contrariamente às estudadas nas últimas aulas, cada um dos seus termos é uma função de uma variável \(x\) (do tipo potência). Principiamos com uma justificação da importância destas séries na representação de uma vasta classe de funções, generalizando os polinómios de Taylor para série de Taylor.

Os objecivos principais do estudo do material desta aula são:

Material de estudo: além deste texto, pode consultar [AB] nas páginas indicadas no link.
É muito importante, além dos exemplos dados neste guia de estudo, estudarem os exercícios resolvidos 1 e 2 da secção 5.2 da lista [S] .
Pode-lhe ser útil visualizar a aula em video 37 do Prof. Miguel Abreu disponível em [MA].

Séries de potências

Definição. Série de potências

Designamos por série de potências uma série da forma \[\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+c_3(x-a)^3+\dots\] em que \(c_n,\;\) \(n=0,1,2,\dots\;\) e \(\;a\;\) são constantes reais dadas e \(\;x\;\) é uma variável real.

Trata-se da generalização do conceito de polinómio para um número infinito de potências de \(x\). Poderíamos então afirmar que se trata de um "polinómio de grau infinito". No entanto, pelo facto de termos uma soma de infinitos termos haverá uma diferença substancial relativamente aos polinómios: enquanto um polinómio é uma função definida em \(\mathbb{R}\), uma série de potências só estará definida para os valores de \(x\) em que a série é convergente (isto é, para os quais está definida a sua soma).

Outra questão é se as propriedades das operações em \(\mathbb{R}\), da derivada e do integral aplicadas aos polinómios e que são consequência das propriedades elementares dessas operações (comutatividade, associatividade, distributividade, linearidde da derivada e do integral,...) são também observadas pelas séries de potências. Esta questão não é trivial e para outros tipos de séries em que os termos são de outro tipo, a resposta poderá ser negativa. No entanto, para séries de potências veremos que poderão ser enunciadas propriedades que directamente generalizam a dos polinómios.

Exemplos. As seguinte séries de potências assumirão uma importância especial:

  1. Série geométrica: \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+\dots\;\qquad (c_n=1,\; a=0)\)
  2. Série exponencial: \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots\;\qquad (c_n=\frac{1}{n!},\; a=0)\)
  3. Série seno: \(\;\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots\;\qquad (c_n=0,\;\text{ se }\; n\;\text{é par;}\quad c_{2k+1}=\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}, \;k=0,1,2,\dots;\quad a=0)\)
  4. Série cosseno: \(\;\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots\;\qquad (c_n=0,\;\text{ se }\; n\;\text{é ímpar;}\quad c_{2k}=\frac{(-1)^k}{(2k)!}, \;k=0,1,2,\dots;\quad a=0)\)

A série geométrica já é nossa conhecida. As designações das outras serão justificadas mais à frente.

Motivação: Representação de funções por séries (série de Taylor)

Da fórmula da soma da série geométrica quando \(\; -1\lt x\lt 1\;\) (relembre!), podemos escrever: \[f(x)=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+\dots\] onde, \[f(x)=\frac{1}{1-x}.\] Isto é o exemplo da representação de uma função por uma série de potências. Mas muitas outras funções podem ser escritas como a soma de uma série de potências o que poderá ser extremamente útil na prática.

Para esse fim relembre (ver guia de estudo da aula teórica 23) que uma função \(\;f\;\) que tenha as derivadas de todas as ordens em torno do ponto \(a\) se pode escrever, para cada \(\;k\in\mathbb{N},\;\) como, \[f(x)=P_k(x)+R_k(x)\] onde \(P_k(x)\) é o polinómio de Taylor de ordem \(k\) em torno do ponto \(x=a,\) \[P_k(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x-a)^2+\dots+\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k =\sum_{n=0}^k\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\] e \(R_k(x)\) é o resto de ordem \(k\) (erro cometido na aproximação polinomial) para o qual dispomos da fórmula de Lagrange: \[R_k(x)=\frac{f^{k+1}(c)}{(k+1)!}(x-a)^{k+1}\,,\quad \text{ para algum }c\text{ entre }a\text{ e }x, \; \text{dependente de }k.\] Vamos ver o seguinte exemplo: \[f(x)=e^x,\qquad a=0.\] Então, \[e^x=P_k(x)+R_k(x)=\sum_{n=0}^k \frac{1}{n!}x^n+\frac{e^{c(k,x)}}{(k+1)!}x^{k+1}.\]

Tomemos o limite quando \(k\to\infty.\;\) Como \(c(k,x)\leqslant |x|,\;\) temos \(\;e^{c(k, x)}\leqslant e^{|x|}\;\) e, portanto, \[0\lt |R_k(x)|\lt e^{|x|}\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}\to 0\] (relembre a escala de sucessões!). Logo, por enquadramento, \(\;\displaystyle\lim_{k\to\infty}R_k(x)=0,\;\) e, portanto, \[P_k(x)=e^x-R_k(x)\quad \Rightarrow \quad\lim_{k\to\infty}P_k(x)=e^x-\lim_ {k\to \infty}R_k(x)=e^x.\] Conclusão: \[e^x=\lim_{k\to\infty}P_k(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!},\] para qualquer \(x\in\mathbb{R}.\) Repare que a soma desta série dá exactamente o valor de \(e^x\) enquanto que o polinómio de Taylor fornece apenas uma aproximação quando \(x\) está próximo do ponto \(a=0\).

A identidade anterior justifica o nome de série exponencial atribuida àquela série. Procedendo da mesma forma quanto às séries 3 e 4 dos exemplos atrás, e relembrando os polinómios de Taylor das funções seno e cosseno, obtemos, para todo \(x\in\mathbb{R}\), \[\operatorname{sen}x=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!},\qquad \cos x=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!},\] justificando as designações dadas àquelas séries.

O resultado geral que se obtem da mesma forma como se obteve o resultado correspondente para a função exponencial e que justifica a importância das séries de potências é a seguinte
Proposição (série de Taylor)

Seja \(f\) uma função de classe \(C^\infty\) tal que, para \(x\) numa vizinhança de \(a\), as derivadas de todas a ordens \(\;f^{(n)}(x)\;\) são majoradas por uma constante. Então, para todo \(x\) nessa vizinhança, \(f(x)\) é dada pela soma da seguinte série de potências designada por série de Taylor: \[f(x)=\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n,\] onde, para \(n=0,1,2,\dots, \) \[c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\,.\]

Intervalo de convergência

Considere uma série de potências \[\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\dots\] O nosso objectivo é responder à seguinte
Questão: Para que valores de \(x\) é a série anterior uma série absolutamente convergente, simplesmente convergente e divergente?
Temos então o seguinte resultado que é o mais geral possível para as séries de potências:
Proposição (existência do raio de convergência)

Sejam \(\;c_n\;\) \((n=0,1,2,\dots)\;\) e \(\;a\;\) constantes reais dadas. Então, existe um \(\;R\geqslant 0\;\) em \(\;\overline{\mathbb{R}}\;\) tal que a série de potências \[\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n\]

\(R\;\) designa-se por raio de convergência.

Reparem que nada é dito quando \(\;|x-a|=R\;\) ou seja, quando \(\;x=a-R\;\) ou \(\;x=a+R.\;\) Veremos nos exemplos que nestes pontos tudo pode acontecer relativamente à convergência da série de potências. Em particular veja que apenas nestes pontos a série de potências poderá eventualmente ser simplesmente convergente.

O seguinte resultado é menos geral que o anterior mas fornece duas fórmulas para o cálculo do raio de convergência em muitas situações relevantes:

Proposição (fórmulas para o raio de convergência)

Demonstração

Fazemos a demonstração da segunda fórmula, o que também constituirá uma demonstração para a proposição geral anterior no caso em que ela é válida.

Sob a hipótese de existência do limite em causa, defina-se \[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|\] Designemos \(\;a_n=c_n(x-a)^n.\;\) A série de potências será então a série \(\;\sum a_n.\;\) Para estudar a sua convergência absoluta consideremos a série dos módulos \(\;\sum|a_n|\;\) e apliquemos o critério de d'Alembert a esta STNN: \[\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} =\lim_{n\to\infty}\frac{|c_{n+1}(x-a)^{n+1}|}{|c_n(x-a)^n|} =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right||x-a|=\frac{|x-a|}{R}\]

Temos então,

A demonstração da outra fórmula para \(\;R\;\) segue os mesmos passos mas usando o critério da raiz em vez do critério de d'Alembert. Sugere-se que o façam como exercício.

∎

Observação: Como foi afirmado atrás, o raio de convergência existe sempre, ainda que nenhum dos limites da proposição anterior exista. Embora saindo do âmbito desta disciplina, indica-se uma fórmula geral que é sempre válida: \[R=\frac{1}{\overline{\lim} \sqrt[n]{|c_n|}}\] Aqui, o símbolo \(\;\displaystyle\overline{\lim}\;\) designado por limite superior, é o maior dos sublimites da sucessão. Existe sempre em \(\overline{\mathbb{R}}.\)

Designamos por intervalo de convergência o intervalo \(I\) tal que a série de potências \[\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n\] é convergente sse \(\;x\in I.\;\)

Esse intervalo é de uma das seguintes formas: \(\;\left]a-R,a+R \right[,\;\)\(\;\left]a-R,a+R\right],\;\) \(\;\left[a-R,a+R\right[\;\) ou \(\;\left[a-R,a+R\right].\;\)

Se \(\;x\in\left]a-R,a+R\right[,\;\) a série é absolutamente convergente.

Se \(\;x\in\left]-\infty,a-R\right[\cup\left]a+R,+\infty\right[,\;\) a série é divergente.

Exemplos

Para todos os exemplos que se seguem a questão é: determine os conjuntos de valores de \(x\) tais que a série dada é absolutamente convergente, simplesmente convergente e divergente. Indicar o intervalo de convergência

  1. \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+\dots\;\) \(\quad (c_n=1,\; a=0)\)
    Trata-se da série geométrica que já conhecemos mas que revemos neste contexto para comparar com os outros casos. \[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\lim\frac{1}{1}=1\] Em \(\;x=a+R=1:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^n=\sum_{n=0}^\infty 1\;\) é divergente.
    Em \(\;x=a-R=-1:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^n=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\;\) é divergente (o termo geral não tende para 0).
    2. Conclusão: Não existe, portanto nenhum valor de \(x\) para o qual a série é simplesmente convergente.

    Intervalo de convergência: \(I=\left]-1,1\right[\)

  2. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}=\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\dots\;\) \(\quad (c_n=\dfrac{1}{n},\; a=0)\)
    \[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\lim\frac{n+1}{n}=1\] Em \(\;x=a+R=1:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n}\;\) é divergente (série harmónica).
    Em \(\;x=a-R=-1:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n}\;\) é simplesmente convergente (série harmónica alternada ou critério de Leibniz).

    3. Conclusão:

    Intervalo de convergência: \(I=\left[-1,1\right[\)

  3. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}=\frac{x}{1}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{9}+\dots\;\) \(\quad (c_n=\dfrac{1}{n^2},\; a=0)\)
    \[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\lim\frac{(n+1)^2}{n^2}=1\] Em \(\;x=a+R=1:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n^2}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2}\;\) é absolutamente convergente (série de Dirichlet com \(\alpha=2\gt 1\)).
    Em \(\;x=a-R=-1:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n^2}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}\;\) é absolutamente convergente (série de Dirichlet alternada com \(\alpha=2\gt 1\)).

    4. Conclusão: Não existem valores de \(x\) para os quais a série é simplesmente convergente.

    Intervalo de convergência: \(I=\left[-1,1\right]\)

  4. \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\dots\;\) \(\quad (c_n=\dfrac{1}{n!},\; a=0)\)
    \[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\lim\frac{(n+1)!}{n!}=\lim (n+1)=+\infty\] Conclusão:
    \(\forall x\in\left]-\infty,+\infty\right[=\mathbb{R},\quad\) a série é absolutamente convergente.
    Não existem valores de \(x\) para os quais a série é simplesmente convergente ou divergente.

    Intervalo de convergência: \(I=\mathbb{R}\)

  5. \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n!x^n=1+1!x+2!x^2+\dots\;\) \(\quad (c_n=n!,\; a=0)\)
    \[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\lim\frac{n!}{(n+1)!}=\lim \frac{1}{n+1}=0\]

    Conclusão:

    Intervalo de convergência: \(I=\{0\}\)

  6. \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)^2}(x-1)^n\) \(\quad (c_n=\dfrac{1}{(n+1)^2},\; a=1)\)
    \[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\lim\frac{(n+1)^2}{n^2}=1\] Em \(\;x=a+R=2:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)^2}(x-1)^n =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)^2}\;\) é absolutamente convergente (é uma STNN que se compara (critério 3) com a série de Dirichlet com \(\alpha=2\gt 1\)).
    Em \(\;x=a-R=0:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)^2}(x-1)^n =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)^2}(-1)^n\;\) é absolutamente convergente (veja que a série dos módulos coincide com a série quando \(x=2\)).

    Conclusão:

    Intervalo de convergência: \(I=\left[0,2\right]\)

  7. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n2^n}(x+1)^n\) \(\quad (c_n=\dfrac{1}{n2^n},\; a=-1)\)
    \[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\lim\frac{(n+1)2^{n+1}}{n2^n}=2\lim\frac{n+1}{n}=2.\] Em \(\;x=a+R=1:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n2^n}(x+1)^n =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n}\;\) é divergente (série harmónica).
    Em \(\;x=a-R=-3:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n2^n}(x+1)^n =\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n};\) é simplesmente convergente (série harmónica alternada ou critério de Leibniz).

    Conclusão:

    Intervalo de convergência: \(I=\left[-3,1\right[.\)

  8. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(2+\frac{1}{n}\right)^nx^n\) \(\displaystyle\quad (c_n=\left(2+\frac{1}{n}\right)^n,\; a=0)\)
    \[R=\frac{1}{\lim \sqrt[n]{|c_n|}}=\frac{1}{\lim\left(2+\frac{1}{n}\right)}=\frac{1}{2}\,.\] Em \(\;x=a+R=\dfrac{1}{2}:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(2+\frac{1}{n}\right)^nx^n =\sum_{n=1}^\infty \left(1+\frac{1}{2n}\right)^n\;\).
    Em \(\;x=a-R=-\dfrac{1}{2}:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(2+\frac{1}{n}\right)^nx^n =\sum_{n=1}^\infty \left(-1-\frac{1}{2n}\right)^n.\)

    Como, \[\lim \left(1+\frac{1/2}{n}\right)^n=e^{1/2}\not=0,\] e \[\left(-1-\frac{1/2}{n}\right)^n=(-1)^n\left(1+\frac{1/2}{n}\right)^n\] tem sublimites \(\;e^{1/2}\;\) e \(\;-e^{1/2}\;\), e logo não tem limite, concluimos que em \(x=\pm\dfrac{1}{2}\) a série é divergente.

    Conclusão:

    Intervalo de convergência: \(I=\left]-1/2,1/2\right[.\)

  9. \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{1+4^n}=\frac{1}{2}+\frac{x^2}{5}+\frac{x^4}{17}+\dots\;\) \(\quad (c_n=0\;\) se \(n\) é ímpar, \(\;c_{2k}=\dfrac{1}{1+4^k},\) \(\; a=0)\)
    Como, para infinitos valores de \(n\) temos \(c_n=0,\) não podemos usar directamente a fórmula do raio de convergência baseada no critério de d'Alembert. No entanto, fazendo a mudança de variável \(y=x^2\), ficamos com outra série de potências, \[\sum_{n=0}^\infty \frac{y^{n}}{1+4^n}\qquad (c_n=\frac{1}{1+4^n})\] à qual já podemos aplicar essa fórmula: \[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\lim\frac{1+4^{n+1}}{1+4^n}=4\lim\frac{\frac{1}{4^{n+1}}+1}{\frac{1}{4^n}+1}=4.\] Em \(\;x=a+R=4:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{1+4^n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{4^n}{1+4^n}\;\)
    Em \(\;x=a-R=-4:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{1+4^n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-4)^n}{1+4^n}.\)
    Veja que o termo geral da primeira série tende para \(1\not=0\) e a sucessão do termo geral da segunda não tem limite pelo que, a série de potências é divergente em \(x=\pm 4\)

    Então, para \(y\):

    Mas \[-4\lt y\lt 4\; \Leftrightarrow\; -4\lt x^2\lt 4\; \Leftrightarrow\; x^2\lt 4\; \Leftrightarrow\; -2\lt x\lt 2.\]

    Conclusão:

    Intervalo de convergência: \(I=\left]-2,2\right[.\)

  10. \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.\;\) Exercício: Faça \(y=x^2\) e proceda como no exemplo anterior.

    Resposta: Intervalo de convergência \(I=\mathbb{R}.\)