Aula teórica 35

Séries:
critérios de convergência (conclusão)
Séries de termo geral não negativo (conclusão):
O critério do integral. Uma aplicação: a prova da convergência/divergência das séries de Dirichlet.
Séries de termo geral sem sinal determinado: Séries absolutamente convergentes. O critério da convergência absoluta.
Séries alternadas. O critério de Leibniz.

Material de estudo:

Na aula anterior começámos a estudar critérios de convergência para as séries. Vimos primeiro um critério que se aplica a todos os tipos de séries mas que só nos permite tirar conclusões em alguns casos de divergência. Em seguida introduzimos a classe das séries de termo geral não negativo (STNN) e apontámos o facto de esta ser aquela para a qual existem mais critérios de convergência e, portanto, se poder fazer um estudo mais sistemático das suas propriedades de convergência/divergência. Demos já os principais critérios para as STNN: dois de comparação, o da raiz e o de d'Alembert (ou da razão). Nesta aula começamos por completar esse estudo com mais um critério: o do integral.

Em seguida, completamos a apresentação dos critérios de convergência com dois critérios para séries em que o sinal do termo geral não é fixo: o da convergência absoluta e o de Leibniz (para séries alternadas).

Voltamos a sublinhar o facto de que não existe um critério que sirva para estudar todas as séries (se houvesse, bastaria estudar esse critério!). É muito importante fazer exercícios para treinar a identificação do tipo de série e aplicação do critério mais correcto para esse tipo.

Temos então como principais objectivos no estudo dos conteudos desta aula:

Material de estudo: além deste texto, pode consultar [AB] nas páginas indicadas no link. Note contudo que esse texto não considera o critério de Leibniz que se apresenta neste guia de estudo.
É muito importante, além dos exemplos dados neste guia de estudo, estudarem os exercícios resolvidos 3 da secção 5.1 da lista [S] .
Pode-lhe ser útil visualizar a aula em video 36 do Prof. Miguel Abreu disponível em [MA].

Séries: critérios de convergência (conclusão)

Séries de termo geral não negativo (conclusão):
O Critério do integral

Na aula anterior começámos a estudar critérios de convergência para as séries de termo geral não negativo (STNN). Relembremos o que foi dito nessa aula: os critérios específicos para STNN baseiam-se na seguinte propriedade:

Propriedade das séries de termos não negativos (STNN)

Uma STNN é convergente sse a sucessão das somas parciais \((s_n)\) é majorada.

O seguinte critério não é excepção a este facto:
Critério 6: critério do integral

Seja \(\;f:\left[1,+\infty\right[\to\mathbb{R}\;\) decrescente e positiva. Então, \[\sum_{n=1}^\infty f(n)\; \text{ é convergente }\quad \Longleftrightarrow\quad \lim_{p\to +\infty}\int_1^p f(x)\,dx <+\infty.\]

Demonstração:

Sendo \(f\) decrescente, temos para \(\;x\in[k,k+1],\;\) com \(\;k\in\mathbb{N},\) \[f(k)\geqslant f(x)\geqslant f(k+1).\] Integrando neste intervalo de comprimento 1, e dado que \(\,\int_{k}^{k+1}c\,dx=c\,\) para qualquer constante \(c\), obtemos \[f(k)\geqslant \int_k^{k+1}f(x)\,dx\geqslant f(k+1)\,.\] (relembrar que qualquer função limitada e monótona é integrável). Somando para \(\;k=1,2,\dots,p-1\;\) ficamos com, \[f(1)+f(2)+\dots+f(p-1)\geqslant \int_1^2 f(x)\,dx+\int_2^3 f(x)\,dx+\dots+\int_{p-1}^p f(x)\,dx\geqslant f(2)+f(3)+\dots+f(p)\,,\] ou seja, \[\sum_{n=1}^{p-1}f(n)\geqslant \int_1^p f(x)\,dx\geqslant \sum_{n=2}^p f(n)\,,\] e podemos concluir,

Observação. Também se usa a notação \[\int_1^{+\infty} f(x)\,dx=\lim_{p\to +\infty}\int_1^p f(x)\,dx,\] designando-se este objecto por integral impróprio de \(f\) em \([1,+\infty[\).

Aplicação: as séries de Dirichlet

Relembremos que são as séries da forma \[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}=\frac{1}{1^\alpha}+\frac{1}{2^\alpha}+\frac{1}{3^\alpha}+\dots \qquad\text{ com }\alpha\in\mathbb{R}. \]

Exemplos:

Observação: sem o critério do integral poderíamos justificar a divergência das séries de Dirichlet com \(\alpha\lt 1\) comparando (critério 2) com a série harmónica (\(\alpha=1\)), a qual já tínhamos visto. Também é possível, embora não o tenhamos feito, obter a convergência no caso \(\;\alpha=2\;\) por comparação com a série de Mengoli \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}.\;\) Por sua vez, por comparação com essa, obtem-se a convergência nos casos \(\alpha\gt 2.\) (critério 2 novamente). Ficariam por ver os casos \(1\lt \alpha\lt 2.\)

Também já vimos (aula teórica anterior) que a convergência/divergência de muitas outras séries de termos não negativos pode ser obtida das séries de Dirichlet por comparação, usando os critérios 2 e 3. Relembremos um exemplo:

Exemplo 1.\(\;\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{\ln n}=\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}+\dots\;\) Comparando com a série harmónica, usando o critério 2: \[ \ln n \lt n \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\ln n}\gt \frac{1}{n}.\] Então, como sabemos que \(\displaystyle\sum\frac{1}{n}\) é divergente, concluimos que a série dada é divergente. Não precisámos portanto do critério do integral.

Exemplo 2.\(\;\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\ln n}=\frac{1}{2\ln 2}+\frac{1}{3\ln 3}+\dots\;\) Tentemos, como no exemplo anterior, usar o critério de comparação 2. Como, qualquer que seja \(\alpha\gt 0\), \(\;\displaystyle\lim\frac{\ln n}{n^\alpha}=0,\;\) concluimos que, para \(n\) a partir de alguma ordem, \(\;\dfrac{1}{\ln n}\gt \dfrac{1}{n^\alpha},\;\) ou seja, \(\;\dfrac{1}{n\ln n}\gt \dfrac{1}{n^{\alpha+1}}.\;\;\) Mas, nós sabemos que as séries \(\displaystyle\sum\frac{1}{n^{\alpha+1}}\;\) são convergentes e então nada podemos concluir daqui, uma vez que a desigualdade tem o sentido oposto ao que nos permitiria usar o critério 2.

Usemos então o critério do integral. Consideremos então \(\;f(x)=\dfrac{1}{x\ln x},\;\) para \(\;x\geqslant 2:\) \[\lim_{p\to +\infty}\int_2^p f(x)\,dx=\lim_{p\to +\infty}\int_2^p \frac{1}{x\ln x}\,dx =\lim_{p\to +\infty}\bigl[\ln |\ln x|\bigr]_2^p =\lim_{p\to +\infty}\bigl(\ln|\ln p|-\ln|\ln 2|\bigr)=+\infty,\] e, portanto, a série dada é divergente.

Exemplo 3.\(\;\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\ln^2 n}=\frac{1}{2\ln^2 2}+\frac{1}{3\ln^2 3}+\dots\;\) Pela mesma razão que no exemplo anterior, o critério de comparação nada nos vai permitir concluir neste caso. Pelo critério do integral \[\lim_{p\to +\infty}\int_2^p f(x)\,dx=\lim_{p\to +\infty}\int_2^p \frac{1}{x\ln^2 x}\,dx =\lim_{p\to +\infty}\left[-\frac{1}{\ln x}\right]_2^p =\lim_{p\to +\infty}\left(-\frac{1}{\ln p}+\frac{1}{\ln 2}\right)=\frac{1}{\ln 2}, \] e, portanto, a série dada é convergente.

Exemplo 4.\(\;\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2\ln n}=\frac{1}{4\ln^2 2}+\frac{1}{9\ln^2 3}+\dots\;\) Desta vez podemos usar o critério de comparação: para \(n\geqslant 3\), temos \(\ln n\gt 1\) e \[n^2\ln n\gt n^2\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{n^2\ln n}\lt \frac{1}{n^2},\] e como sabemos que a série \(\displaystyle\sum\frac{1}{n^2}\) é convergente, concluimos que a série dada é convergente.

Observação. Reparem que a aplicação do critério da raiz e do d'Alembert nunca foi sequer considerada nestes exemplos: seria pura perca de tempo! A razão disso é que estes critérios têm construido dentro de si uma comparação com a série geométrica e, por esse motivo, se o termo geral da série dada cresce ou decresce "muito mais devagar que \(c^n\)" (qualquer \(c\)), então os limites a calcular para aplicar aqueles dois critérios dão exactamente \(r=1\) que é a situação em que esses critérios nada permitem concluir. Constate este facto nos exemplos acima.

Séries de termo geral sem sinal determinado

Já observámos que não há nenhum critério que nos permita tirar conclusões em todas as séries e que, no caso das séries de termos não negativos (STNN), dispomos de mais critérios que no caso mais geral. A primeira questão natural que se pôe ao abordar séries que podem ter termos negativos é: o que é que ainda podemos dizer sobre essas séries usando, de alguma forma, o conhecimento adquirido até agora sobre STNN?

A questão atrás será relevante no caso em que a série dada é de sinal não determinado, ou seja, tem uns termos positivos e outros negativos.

Séries absolutamente convergentes

Introduzimos aqui essa classe de séries

Definição (série absolutamente convergente)

Diz-se que uma série dada \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\;\) é absolutamente convergente sse "a sua série dos módulos" \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty |a_n|\;\) é convergente.

Para já, trata-se apenas de uma definição, não estabelecendo à partida nehnuma relação entre os factos de uma série ser convergente e ela ser absolutamente convergente. Essa relação é estabelecida com o seguinte

Critério 7: critério da convergência absoluta

Se uma série é absolutamente convergente, então ela é convergente.

Ou seja, \[\sum_{n=1}^\infty |a_n|\; \text{ converge }\quad\Rightarrow\quad \sum_{n=1}^\infty a_n \;\text{ converge }.\]

Demonstração

Seja \(\;\sum a_n\;\) uma série absolutamente convergente, ou seja, tal que \(\;\sum|a_n|\;\) é convergente. Escrevemos agora esta série como a diferença entre duas STNN. Para isso introduzimos notação. Seja \(c\) um número real qualquer. A sua parte positiva, \(c^+\), e a sua parte negativa, \(c^-\) são: \[c^+=\max(0,c),\qquad c^-=\max(0,-c).\] Por exemplo, \(5^+=5,\;\) \(5^-=0,\;\) \((-5)^+=0,\;\) \((-5)^-=5.\) Então, é fácil ver que \(\;c ^+,c^-\geqslant 0,\;\) que \[c=c^+-c^-,\quad\text{ e que }\quad |c|=c^++c^-.\] Agora reparem que \(\sum (a_n)^+\) é simplesmente a STNN que se obtem de \(\sum a_n\) substituindo os termos negativos por \(0\). Analogamente, \(\sum(a_n)^-\) é a STNN obtida de \(\sum a_n\) substituindo por \(0\) os termos positivos e considerando o módulo dos outros.

Como, para cada \(n\), se tem \(\;(a_n)^+\leqslant |a_n|\;\) e \(\;(a_n)^-\leqslant |a_n|,\;\) pelo critério de comparação de STNN (critério 2) e como \(\sum|a_n|\) é convergente por hipótese, podemos dizer que ambas as séries \(\sum (a_n)^+\) e \(\sum(a_n)^+\) são convergentes. Como, pela propriedade da linearidade das séries a diferença entre duas séries convergentes é convergente (guia de estudo da aula teórica 33), podemos escrever, \[\sum (a_n)^+-\sum (a_n)^-=\sum\bigl[(a_n)^+-(a_n)^-\bigr]=\sum a_n,\] ficando provado que a série \(\sum a_n\) é convergente.

Exemplo 5.\(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^5}=-\frac{1}{1^5}+\frac{1}{2^5}-\frac{1}{3^5}+\dots\quad\) A sua série dos módulos é \[\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^n}{n^5}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^5},\] a qual é uma série de Dirichlet convergente (\(\alpha=5\gt 1\)). Logo, a série dada é absolutamente convergente e, pelo critério 7 é uma série convergente.

Exemplo 6. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^nn^2}{3n^5-2}.\quad\) É uma série de termos sem sinal determinado e, por isso, não podemos usar directamente os critérios dados para STNN. Consideremos então a sua série dos módulos: \[\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^nn^2}{3n^5-2}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{n^2}{3n^5-2}\] Esta última é uma STNN que pode ser comparada com a série de Dirichlet convergente \(\;\displaystyle\sum_ {n=1}^\infty\frac{1}{n^3}.\;\) Usando o critério 3 (faça-o!) concluimos que se trata de uma STNN convergente. Por outras palavras, a série dada é absolutamente convergente e portanto, pelo critério 7, é convergente.

Exemplo 7. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-2)^nn!}{n^n}.\quad\) Trata-se de uma série de termos sem sinal determinado, pelo que não podemos usar directamente os critérios dados para STNN. Consideremos a sua série dos módulos: \[\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-2)^nn!}{n^n}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^nn!}{n^n}\] Apliquemos o critério de d'Alembert a esta STNN. Seja \(\;a_n=\frac{2^nn!}{n^n}.\;\) Então \[\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{(n+1)}}\cdot\frac{n^n}{2^nn!} =\lim\frac{2(n+1)n^n}{(n+1)^{n+1}}=2\lim\left(\frac{n}{n+1}\right)^n =2\lim\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{2}{e}\lt 1.\] Concluimos que a série dos módulos é uma STNN convergente. Pelo critério 7, a série dada é convergente.

O critério 7 estabelece a classe das séries absolutamente convergentes como uma subclasse das séries convergentes. Poderá uma série convergente não ser absolutamente convergente? Não podemos dar ainda um exemplo, o que ficará para a próxima secção, mas desde já ficam com a noção de que isso é possível. Ou seja, existem séries na classe seguinte:

Definição (série simplesmente convergente).

Uma série convergente que não seja absolutamente convergente designa-se por simplesmente convergente.

Ou seja, uma série \(\sum a_n\) é simplesmente convergente se \(\sum a_n\) é convergente mas \(\sum|a_n|\) é divergente.

Suponhamos que vamos indagar se uma dada série de termos de sinal não determinado é convergente. Consideramos a série dos módulos e aplicamos um dos critérios para STNN (critérios 2-6). Se a séries dos módulos for convergente, então a série dada é absolutamente convergente e o problema está resolvido. Mas se não for, o problema da convergência da série dada continua por responder: a única que coisa que sabemos é que não é absolutamente convergente. Ainda temos que decidir se a série é divergente ou simplesmente convergente.

Existem vários critérios para essa situação mas, nesta disciplina só vamos considerar o caso quando a série é do tipo dado na secção seguinte:

Séries alternadas: o critério de Leibniz

Introduzimos mais uma classe de séries:
Definição (séries alternadas).

Designamos por série alternada qualquer série da forma \[\sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n=-a_1+a_2-a_3+a_4-\dots\qquad\text{ou}\qquad \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}a_n=a_1-a_2+a_3-a_4+\dots\] onde \(\;a_n\geqslant 0,\;\) para todo o \(n\in\mathbb{N}.\)

O seguinte critério aplica-se a estas séries

Critério 8: critério de Leibniz para séries alternadas

Se a sucessão \(\;(a_n)\;\) é decrescente e \(\lim a_n=0\), então, a série alternada \[\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}a_n\] é convergente.

Obviamente a mesma conclusão aplica-se à série \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n}a_n.\;\)

Demonstração:

Por hipótese, temos \(a_{n+1}\leqslant a_n\). Seja \((s_n)\) sucessão das somas parciais da série alternada dada. Então, \[\begin{aligned} s_1&=a_1\gt 0\\ s_2&=a_1-a_2\\ s_3&=a_1-a_2+a_3\leqslant a_1=s_1, \quad \text{porque}\quad -a_2+a_3\leqslant 0,\\ s_4&=a_1-a_2+a_3-a_4\gt s_2,\quad\text{porque}\quad a_3-a_4\geqslant 0,\\ \end{aligned}\] Em geral: \(s_{2n}\) é crescente, \(s_{2n-1}\) é decrescente e como são ambas limitadas, são convergentes. Mas como \(s_{2n}-s_{2n-1}=a_{2n}\rightarrow 0,\) conclui-se que \(\lim s_{2n}=\lim_{2n-1}\) e segue-se que a sucessão das somas parciais \((s_n)\) é convergente, ou seja, a série alternada converge.

Exemplo 8. A série harmónica alternada: \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\dots\;\)
A sua série dos módulos é a série harmónica a qual sabemos ser divergente. Logo, a série harmónica alternada não é absolutamente convergente. Vamos aplicar o critério de Leibniz. Não há dúvida que a sucessão \((1/n)\) é decrescente e \(\lim \frac{1}{n}=0.\) Então, pelo critério 8, concluimos que a série é convergente.
Conclusão: a série harmónica alternada é simplesmente convergente.

Exemplo 9. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}\)

A sua série dos módulos é a série de Dirichlet divergente \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}.\;\) Logo, esta série não é absolutamente convergente. Como a sucessão \((1/\sqrt{n})\) é decrescente e tende para 0, concluimos, pelo critério 8, que a série é convergente.
Conclusão: a série \(\;\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1^{n+1})}{\sqrt{n}}\;\) é simplesmente convergente.

Em geral:

Séries de Dirichlet alternadas

São séries do tipo \[\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^\alpha}=\frac{1}{1^\alpha}-\frac{1}{2^\alpha}+\frac{1}{3^\alpha}-\dots\] Se \(\alpha\leqslant 0\) então o termo geral da série não tende para 0 e a série é divergente, pelo critério 1.
Se \(\alpha \gt 1\), então a série dos módulos será a série de Dirichlet com \(\alpha\gt 1\) a qual é convergente. Neste caso a série de Dirichlet alternada é absolutamente convergente.
Para \(0\lt\alpha\leqslant 1\) procede-se como nos exemplos 8 e 9 e concluimos que a série é simplesmente convergente.

Resumindo:

Convergência absoluta/simples/divergência das séries de Dirichlet alternadas:

Considere-se a série de Dirichlet alternada \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^\alpha}.\;\) Então:

Mais exemplos:

Exemplo 10. \(\;\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{\ln n}\;\)
Vejamos a série dos módulos: \(\;\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\left|\frac{(-1)^n}{\ln n}\right|=\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{\ln n}.\)
Por comparação com a série harmónica esta série é divergente (ver exemplo 1 desta aula). Por outro lado, a sucessão \(\frac{1}{\ln n}\) é claramente decrescente e tende para 0. Logo, pelo critério de Leibniz, esta série é convergente mas não é absolutamente convergente. Logo, é simplesmente convergente.

Exemplo 11. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2+\ln n}.\;\) Estudemos a série dos módulos: \[\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^n}{n^2+\ln n}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+\ln n}.\]
Trata-se de uma STNN que pode ser estudada comparando com a série de Dirichlet \(\sum\frac{1}{n^2}:\) \[\lim\frac{\frac{1}{n^2+\ln n}}{\frac{1}{n^2}}=\lim\frac{1}{1+\frac{\ln n}{n^2}}=1\not=0,\infty.\] Concluimos que a série dos módulos tem a mesma natureza que a série de Dirichlet com \(\alpha=2\), ou seja, é convergente.
Conclusão: a série é absolutamente convergente.

Exemplo 12. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^nn}{n^2+\ln n}.\;\) Estudemos a série dos módulos: \[\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^nn}{n^2+\ln n}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{n^2+\ln n}.\]
Trata-se de uma STNN que pode ser estudada comparando com a série de Dirichlet \(\displaystyle\sum\frac{n}{n^2}=\sum\frac{1}{n}:\) \[\lim\frac{\frac{n}{n^2+\ln n}}{\frac{1}{n}}=\lim\frac{n^2}{n^2+\ln n}=\lim\frac{1}{1+\frac{\ln n}{n^2}}=1\not=0,\infty.\] Concluimos que a série dos módulos tem a mesma natureza que a série de Dirichlet com \(\alpha=1\), ou seja, é divergente.
Então a série dada não é absolutamente convergente. Resta saber se é divergente ou simplesmente convergente.
Para isso constatemos que a série dada é alternada do tipo \[\displaystyle\sum (-1)^na_n,\quad\text{com}\quad a_n=\frac{n}{n^2+\ln n}\] Verifique que \(a_{n+1}-a_n\lt 0\), para todo \(n\in\mathbb{N}\). Além disso, \(\lim a_n=0\) e concluimos, pelo critério de Leibniz, que a série é convergente.

Conclusão: a série é simplesmente convergente.

Observação importante: Repare na estratégia seguida nos exercícios 11 e 12. Se queremos classificar uma série alternada como absolutamente convergente, simplesmente convergente ou divergente, começamos por estudar a série dos módulos. Se esta for convergente, concluimos imediatamente que a série é absolutamente convergente e o problema fica resolvido: ainda que a série seja alternada, o critério de Leibniz não necessita de ser utilizado.
Se, pelo contrário, a série dos módulos é divergente, vamos ter que verificar a convergência da série usando o critério de Leibniz. No entanto, se tivéssemos começado com este critério, teríamos ainda assim, que fazer o estudo da série dos módulos.
Conclusão: há toda a conveniência em iniciar o estudo de uma série alternada com o estudo da convergência absoluta