Séries:
critérios de convergência (conclusão)
Séries de termo geral não negativo (conclusão):
O critério do integral. Uma aplicação:
a prova da convergência/divergência das séries de Dirichlet.
Séries de termo geral sem sinal determinado:
Séries absolutamente convergentes. O critério da convergência absoluta.
Séries alternadas. O critério de Leibniz.
Material de estudo:
Na aula anterior começámos a estudar critérios de convergência para as séries. Vimos primeiro um critério que se aplica a todos os tipos de séries mas que só nos permite tirar conclusões em alguns casos de divergência. Em seguida introduzimos a classe das séries de termo geral não negativo (STNN) e apontámos o facto de esta ser aquela para a qual existem mais critérios de convergência e, portanto, se poder fazer um estudo mais sistemático das suas propriedades de convergência/divergência. Demos já os principais critérios para as STNN: dois de comparação, o da raiz e o de d'Alembert (ou da razão). Nesta aula começamos por completar esse estudo com mais um critério: o do integral.
Em seguida, completamos a apresentação dos critérios de convergência com dois critérios para séries em que o sinal do termo geral não é fixo: o da convergência absoluta e o de Leibniz (para séries alternadas).
Voltamos a sublinhar o facto de que não existe um critério que sirva para estudar todas as séries (se houvesse, bastaria estudar esse critério!). É muito importante fazer exercícios para treinar a identificação do tipo de série e aplicação do critério mais correcto para esse tipo.
Temos então como principais objectivos no estudo dos conteudos desta aula:
Material de estudo: além deste texto, pode consultar [AB] nas páginas indicadas no link.
Note contudo que esse texto não considera o critério de Leibniz que se apresenta neste guia de estudo.
É muito importante, além dos exemplos dados neste guia de estudo, estudarem os exercícios resolvidos 3 da secção 5.1 da lista [S] .
Pode-lhe ser útil visualizar a aula em video 36 do Prof. Miguel Abreu disponível em [MA].
Na aula anterior começámos a estudar critérios de convergência para as séries de termo geral não negativo (STNN). Relembremos o que foi dito nessa aula: os critérios específicos para STNN baseiam-se na seguinte propriedade:
Propriedade das séries de termos não negativos (STNN)O seguinte critério não é excepção a este facto:Uma STNN é convergente sse a sucessão das somas parciais \((s_n)\) é majorada.
Critério 6: critério do integralSeja \(\;f:\left[1,+\infty\right[\to\mathbb{R}\;\) decrescente e positiva. Então, \[\sum_{n=1}^\infty f(n)\; \text{ é convergente }\quad \Longleftrightarrow\quad \lim_{p\to +\infty}\int_1^p f(x)\,dx <+\infty.\]
Demonstração:
Sendo \(f\) decrescente, temos para \(\;x\in[k,k+1],\;\) com \(\;k\in\mathbb{N},\) \[f(k)\geqslant f(x)\geqslant f(k+1).\] Integrando neste intervalo de comprimento 1, e dado que \(\,\int_{k}^{k+1}c\,dx=c\,\) para qualquer constante \(c\), obtemos \[f(k)\geqslant \int_k^{k+1}f(x)\,dx\geqslant f(k+1)\,.\] (relembrar que qualquer função limitada e monótona é integrável). Somando para \(\;k=1,2,\dots,p-1\;\) ficamos com, \[f(1)+f(2)+\dots+f(p-1)\geqslant \int_1^2 f(x)\,dx+\int_2^3 f(x)\,dx+\dots+\int_{p-1}^p f(x)\,dx\geqslant f(2)+f(3)+\dots+f(p)\,,\] ou seja, \[\sum_{n=1}^{p-1}f(n)\geqslant \int_1^p f(x)\,dx\geqslant \sum_{n=2}^p f(n)\,,\] e podemos concluir,
Observação. Também se usa a notação \[\int_1^{+\infty} f(x)\,dx=\lim_{p\to +\infty}\int_1^p f(x)\,dx,\] designando-se este objecto por integral impróprio de \(f\) em \([1,+\infty[\).
Aplicação: as séries de Dirichlet
Relembremos que são as séries da forma \[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}=\frac{1}{1^\alpha}+\frac{1}{2^\alpha}+\frac{1}{3^\alpha}+\dots \qquad\text{ com }\alpha\in\mathbb{R}. \]
Caso \(\alpha=1:\;\) série harmónica \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n}.\;\) Apliquemos o critério do integral: neste caso, \(f(x)=\dfrac{1}{x},\;\) e \[\lim_{p\to +\infty}\int_1^p f(x)\,dx=\lim_{p\to +\infty}\int_1^p \frac{1}{x}\,dx=\lim_{p\to +\infty}\left[\ln |x|\right]_1^p =\lim_{p\to +\infty}\ln p=+\infty,\] donde concluimos que a série harmónica é divergente.
Observação: já tínhamos chegado a esta conclusão por outro método (rever aula teórica 34), mostrando que por vezes podemos usar mais do que um método para obter a convergência/divergência de uma série.
Caso \(\alpha\not=1.\quad\) Neste caso, \(\;f(x)=\dfrac{1}{x^\alpha},\;\) e \[\lim_{p\to +\infty}\int_1^p f(x)\,dx=\lim_{p\to +\infty}\int_1^p\frac{1}{x^\alpha}\,dx= \lim_{p\to+\infty}\left[\frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha}\right]_1^p= \frac{1}{\alpha-1}\left(1-\lim_{p\to+\infty} p^{1-\alpha}\right)= \begin{cases} \dfrac{1}{\alpha-1}&\text{ se }\alpha \gt 1\\ & \\ +\infty &\text{ se } 0\lt \alpha \lt 1, \end{cases}\] e, portanto, a série é divergente se \(\;\alpha\lt 1\;\) e convergente se \(\;\alpha \gt 1\).
Exemplos:
Observação: sem o critério do integral poderíamos justificar a divergência das séries de Dirichlet com \(\alpha\lt 1\) comparando (critério 2) com a série harmónica (\(\alpha=1\)), a qual já tínhamos visto. Também é possível, embora não o tenhamos feito, obter a convergência no caso \(\;\alpha=2\;\) por comparação com a série de Mengoli \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}.\;\) Por sua vez, por comparação com essa, obtem-se a convergência nos casos \(\alpha\gt 2.\) (critério 2 novamente). Ficariam por ver os casos \(1\lt \alpha\lt 2.\)
Também já vimos (aula teórica anterior) que a convergência/divergência de muitas outras séries de termos não negativos pode ser obtida das séries de Dirichlet por comparação, usando os critérios 2 e 3. Relembremos um exemplo:
Exemplo 1.\(\;\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{\ln n}=\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}+\dots\;\) Comparando com a série harmónica, usando o critério 2: \[ \ln n \lt n \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\ln n}\gt \frac{1}{n}.\] Então, como sabemos que \(\displaystyle\sum\frac{1}{n}\) é divergente, concluimos que a série dada é divergente. Não precisámos portanto do critério do integral.
Exemplo 2.\(\;\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\ln n}=\frac{1}{2\ln 2}+\frac{1}{3\ln 3}+\dots\;\) Tentemos, como no exemplo anterior, usar o critério de comparação 2. Como, qualquer que seja \(\alpha\gt 0\), \(\;\displaystyle\lim\frac{\ln n}{n^\alpha}=0,\;\) concluimos que, para \(n\) a partir de alguma ordem, \(\;\dfrac{1}{\ln n}\gt \dfrac{1}{n^\alpha},\;\) ou seja, \(\;\dfrac{1}{n\ln n}\gt \dfrac{1}{n^{\alpha+1}}.\;\;\) Mas, nós sabemos que as séries \(\displaystyle\sum\frac{1}{n^{\alpha+1}}\;\) são convergentes e então nada podemos concluir daqui, uma vez que a desigualdade tem o sentido oposto ao que nos permitiria usar o critério 2.
Usemos então o critério do integral. Consideremos então \(\;f(x)=\dfrac{1}{x\ln x},\;\) para \(\;x\geqslant 2:\) \[\lim_{p\to +\infty}\int_2^p f(x)\,dx=\lim_{p\to +\infty}\int_2^p \frac{1}{x\ln x}\,dx =\lim_{p\to +\infty}\bigl[\ln |\ln x|\bigr]_2^p =\lim_{p\to +\infty}\bigl(\ln|\ln p|-\ln|\ln 2|\bigr)=+\infty,\] e, portanto, a série dada é divergente.
Exemplo 3.\(\;\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\ln^2 n}=\frac{1}{2\ln^2 2}+\frac{1}{3\ln^2 3}+\dots\;\) Pela mesma razão que no exemplo anterior, o critério de comparação nada nos vai permitir concluir neste caso. Pelo critério do integral \[\lim_{p\to +\infty}\int_2^p f(x)\,dx=\lim_{p\to +\infty}\int_2^p \frac{1}{x\ln^2 x}\,dx =\lim_{p\to +\infty}\left[-\frac{1}{\ln x}\right]_2^p =\lim_{p\to +\infty}\left(-\frac{1}{\ln p}+\frac{1}{\ln 2}\right)=\frac{1}{\ln 2}, \] e, portanto, a série dada é convergente.
Exemplo 4.\(\;\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2\ln n}=\frac{1}{4\ln^2 2}+\frac{1}{9\ln^2 3}+\dots\;\) Desta vez podemos usar o critério de comparação: para \(n\geqslant 3\), temos \(\ln n\gt 1\) e \[n^2\ln n\gt n^2\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{n^2\ln n}\lt \frac{1}{n^2},\] e como sabemos que a série \(\displaystyle\sum\frac{1}{n^2}\) é convergente, concluimos que a série dada é convergente.
Observação. Reparem que a aplicação do critério da raiz e do d'Alembert nunca foi sequer considerada nestes exemplos: seria pura perca de tempo! A razão disso é que estes critérios têm construido dentro de si uma comparação com a série geométrica e, por esse motivo, se o termo geral da série dada cresce ou decresce "muito mais devagar que \(c^n\)" (qualquer \(c\)), então os limites a calcular para aplicar aqueles dois critérios dão exactamente \(r=1\) que é a situação em que esses critérios nada permitem concluir. Constate este facto nos exemplos acima.
Já observámos que não há nenhum critério que nos permita tirar conclusões em todas as séries e que, no caso das séries de termos não negativos (STNN), dispomos de mais critérios que no caso mais geral. A primeira questão natural que se pôe ao abordar séries que podem ter termos negativos é: o que é que ainda podemos dizer sobre essas séries usando, de alguma forma, o conhecimento adquirido até agora sobre STNN?
A questão atrás será relevante no caso em que a série dada é de sinal não determinado, ou seja, tem uns termos positivos e outros negativos.
Introduzimos aqui essa classe de séries
Definição (série absolutamente convergente)Diz-se que uma série dada \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\;\) é absolutamente convergente sse "a sua série dos módulos" \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty |a_n|\;\) é convergente.
Para já, trata-se apenas de uma definição, não estabelecendo à partida nehnuma relação entre os factos de uma série ser convergente e ela ser absolutamente convergente. Essa relação é estabelecida com o seguinte
Critério 7: critério da convergência absolutaOu seja, \[\sum_{n=1}^\infty |a_n|\; \text{ converge }\quad\Rightarrow\quad \sum_{n=1}^\infty a_n \;\text{ converge }.\]Se uma série é absolutamente convergente, então ela é convergente.
Seja \(\;\sum a_n\;\) uma série absolutamente convergente, ou seja, tal que \(\;\sum|a_n|\;\) é convergente. Escrevemos agora esta série como a diferença entre duas STNN. Para isso introduzimos notação. Seja \(c\) um número real qualquer. A sua parte positiva, \(c^+\), e a sua parte negativa, \(c^-\) são: \[c^+=\max(0,c),\qquad c^-=\max(0,-c).\] Por exemplo, \(5^+=5,\;\) \(5^-=0,\;\) \((-5)^+=0,\;\) \((-5)^-=5.\) Então, é fácil ver que \(\;c ^+,c^-\geqslant 0,\;\) que \[c=c^+-c^-,\quad\text{ e que }\quad |c|=c^++c^-.\] Agora reparem que \(\sum (a_n)^+\) é simplesmente a STNN que se obtem de \(\sum a_n\) substituindo os termos negativos por \(0\). Analogamente, \(\sum(a_n)^-\) é a STNN obtida de \(\sum a_n\) substituindo por \(0\) os termos positivos e considerando o módulo dos outros.
Como, para cada \(n\), se tem \(\;(a_n)^+\leqslant |a_n|\;\) e \(\;(a_n)^-\leqslant |a_n|,\;\) pelo critério de comparação de STNN (critério 2) e como \(\sum|a_n|\) é convergente por hipótese, podemos dizer que ambas as séries \(\sum (a_n)^+\) e \(\sum(a_n)^+\) são convergentes. Como, pela propriedade da linearidade das séries a diferença entre duas séries convergentes é convergente (guia de estudo da aula teórica 33), podemos escrever, \[\sum (a_n)^+-\sum (a_n)^-=\sum\bigl[(a_n)^+-(a_n)^-\bigr]=\sum a_n,\] ficando provado que a série \(\sum a_n\) é convergente.
Exemplo 5.\(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^5}=-\frac{1}{1^5}+\frac{1}{2^5}-\frac{1}{3^5}+\dots\quad\) A sua série dos módulos é \[\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^n}{n^5}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^5},\] a qual é uma série de Dirichlet convergente (\(\alpha=5\gt 1\)). Logo, a série dada é absolutamente convergente e, pelo critério 7 é uma série convergente.
Exemplo 6. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^nn^2}{3n^5-2}.\quad\) É uma série de termos sem sinal determinado e, por isso, não podemos usar directamente os critérios dados para STNN. Consideremos então a sua série dos módulos: \[\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^nn^2}{3n^5-2}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{n^2}{3n^5-2}\] Esta última é uma STNN que pode ser comparada com a série de Dirichlet convergente \(\;\displaystyle\sum_ {n=1}^\infty\frac{1}{n^3}.\;\) Usando o critério 3 (faça-o!) concluimos que se trata de uma STNN convergente. Por outras palavras, a série dada é absolutamente convergente e portanto, pelo critério 7, é convergente.
Exemplo 7. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-2)^nn!}{n^n}.\quad\) Trata-se de uma série de termos sem sinal determinado, pelo que não podemos usar directamente os critérios dados para STNN. Consideremos a sua série dos módulos: \[\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-2)^nn!}{n^n}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^nn!}{n^n}\] Apliquemos o critério de d'Alembert a esta STNN. Seja \(\;a_n=\frac{2^nn!}{n^n}.\;\) Então \[\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{(n+1)}}\cdot\frac{n^n}{2^nn!} =\lim\frac{2(n+1)n^n}{(n+1)^{n+1}}=2\lim\left(\frac{n}{n+1}\right)^n =2\lim\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{2}{e}\lt 1.\] Concluimos que a série dos módulos é uma STNN convergente. Pelo critério 7, a série dada é convergente.
O critério 7 estabelece a classe das séries absolutamente convergentes como uma subclasse das séries convergentes. Poderá uma série convergente não ser absolutamente convergente? Não podemos dar ainda um exemplo, o que ficará para a próxima secção, mas desde já ficam com a noção de que isso é possível. Ou seja, existem séries na classe seguinte:
Definição (série simplesmente convergente).Uma série convergente que não seja absolutamente convergente designa-se por simplesmente convergente.
Ou seja, uma série \(\sum a_n\) é simplesmente convergente se \(\sum a_n\) é convergente mas \(\sum|a_n|\) é divergente.
Suponhamos que vamos indagar se uma dada série de termos de sinal não determinado é convergente. Consideramos a série dos módulos e aplicamos um dos critérios para STNN (critérios 2-6). Se a séries dos módulos for convergente, então a série dada é absolutamente convergente e o problema está resolvido. Mas se não for, o problema da convergência da série dada continua por responder: a única que coisa que sabemos é que não é absolutamente convergente. Ainda temos que decidir se a série é divergente ou simplesmente convergente.Existem vários critérios para essa situação mas, nesta disciplina só vamos considerar o caso quando a série é do tipo dado na secção seguinte:
Definição (séries alternadas).Designamos por série alternada qualquer série da forma \[\sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n=-a_1+a_2-a_3+a_4-\dots\qquad\text{ou}\qquad \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}a_n=a_1-a_2+a_3-a_4+\dots\] onde \(\;a_n\geqslant 0,\;\) para todo o \(n\in\mathbb{N}.\)
O seguinte critério aplica-se a estas séries
Critério 8: critério de Leibniz para séries alternadasObviamente a mesma conclusão aplica-se à série \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n}a_n.\;\)Se a sucessão \(\;(a_n)\;\) é decrescente e \(\lim a_n=0\), então, a série alternada \[\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}a_n\] é convergente.
Por hipótese, temos \(a_{n+1}\leqslant a_n\). Seja \((s_n)\) sucessão das somas parciais da série alternada dada. Então, \[\begin{aligned} s_1&=a_1\gt 0\\ s_2&=a_1-a_2\\ s_3&=a_1-a_2+a_3\leqslant a_1=s_1, \quad \text{porque}\quad -a_2+a_3\leqslant 0,\\ s_4&=a_1-a_2+a_3-a_4\gt s_2,\quad\text{porque}\quad a_3-a_4\geqslant 0,\\ \end{aligned}\] Em geral: \(s_{2n}\) é crescente, \(s_{2n-1}\) é decrescente e como são ambas limitadas, são convergentes. Mas como \(s_{2n}-s_{2n-1}=a_{2n}\rightarrow 0,\) conclui-se que \(\lim s_{2n}=\lim_{2n-1}\) e segue-se que a sucessão das somas parciais \((s_n)\) é convergente, ou seja, a série alternada converge.
Exemplo 8. A série harmónica alternada:
\(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\dots\;\)
A sua série dos módulos é a série harmónica a qual sabemos ser divergente. Logo, a série harmónica alternada
não é absolutamente convergente. Vamos aplicar o critério de Leibniz. Não há dúvida que a sucessão \((1/n)\)
é decrescente e \(\lim \frac{1}{n}=0.\) Então, pelo critério 8, concluimos que a série é convergente.
Conclusão: a série harmónica alternada é simplesmente convergente.
Exemplo 9. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}\)
Em geral:
São séries do tipo
\[\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^\alpha}=\frac{1}{1^\alpha}-\frac{1}{2^\alpha}+\frac{1}{3^\alpha}-\dots\]
Se \(\alpha\leqslant 0\) então o termo geral da série não tende para 0 e a série é divergente, pelo critério 1.
Se \(\alpha \gt 1\), então a série dos módulos será a série de Dirichlet com \(\alpha\gt 1\) a qual é convergente. Neste caso a série de Dirichlet
alternada é absolutamente convergente.
Para \(0\lt\alpha\leqslant 1\) procede-se como nos exemplos 8 e 9 e concluimos que a série é simplesmente convergente.
Resumindo:
Convergência absoluta/simples/divergência das séries de Dirichlet alternadas:Considere-se a série de Dirichlet alternada \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^\alpha}.\;\) Então:
- Se \(\;\alpha\leqslant 0,\;\) então a série é divergente
- Se \(\;0\lt \alpha\leqslant 1,\;\) então a série é simplesmente convergente
- Se \(\;\alpha \gt 1,\;\) então a série é absolutamente convergente
Mais exemplos:
Exemplo 10. \(\;\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{\ln n}\;\)
Vejamos a série dos módulos: \(\;\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\left|\frac{(-1)^n}{\ln n}\right|=\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{\ln n}.\)
Por comparação com a série harmónica esta série é divergente (ver exemplo 1 desta aula). Por outro lado, a sucessão \(\frac{1}{\ln n}\) é claramente decrescente e
tende para 0. Logo, pelo critério de Leibniz, esta série é convergente mas não é absolutamente convergente. Logo, é simplesmente convergente.
Exemplo 11. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2+\ln n}.\;\) Estudemos a série dos módulos:
\[\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^n}{n^2+\ln n}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+\ln n}.\]
Trata-se de uma STNN que pode ser estudada comparando com a série de Dirichlet \(\sum\frac{1}{n^2}:\)
\[\lim\frac{\frac{1}{n^2+\ln n}}{\frac{1}{n^2}}=\lim\frac{1}{1+\frac{\ln n}{n^2}}=1\not=0,\infty.\]
Concluimos que a série dos módulos tem a mesma natureza que a série de Dirichlet com \(\alpha=2\), ou seja, é convergente.
Conclusão: a série é absolutamente convergente.
Exemplo 12. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^nn}{n^2+\ln n}.\;\) Estudemos a série dos módulos:
\[\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^nn}{n^2+\ln n}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{n^2+\ln n}.\]
Trata-se de uma STNN que pode ser estudada comparando com a série de Dirichlet \(\displaystyle\sum\frac{n}{n^2}=\sum\frac{1}{n}:\)
\[\lim\frac{\frac{n}{n^2+\ln n}}{\frac{1}{n}}=\lim\frac{n^2}{n^2+\ln n}=\lim\frac{1}{1+\frac{\ln n}{n^2}}=1\not=0,\infty.\]
Concluimos que a série dos módulos tem a mesma natureza que a série de Dirichlet com \(\alpha=1\), ou seja, é divergente.
Então a série dada não é absolutamente convergente. Resta saber se é divergente ou simplesmente convergente.
Para isso constatemos que a série dada é alternada do tipo \[\displaystyle\sum (-1)^na_n,\quad\text{com}\quad a_n=\frac{n}{n^2+\ln n}\]
Verifique que \(a_{n+1}-a_n\lt 0\), para todo \(n\in\mathbb{N}\). Além disso, \(\lim a_n=0\) e concluimos, pelo critério de Leibniz, que a série é convergente.
Observação importante: Repare na estratégia seguida nos exercícios 11 e 12. Se queremos classificar uma série alternada como absolutamente convergente,
simplesmente convergente ou divergente, começamos por estudar a série dos módulos. Se esta for convergente, concluimos imediatamente que a série é absolutamente convergente
e o problema fica resolvido: ainda que a série seja alternada, o critério de Leibniz não necessita de ser utilizado.
Se, pelo contrário, a série dos módulos é divergente, vamos ter que verificar a convergência da série usando o critério de Leibniz. No entanto, se tivéssemos começado
com este critério, teríamos ainda assim, que fazer o estudo da série dos módulos.
Conclusão: há toda a conveniência em iniciar o estudo de uma série alternada com o estudo da convergência absoluta