Aula teórica 34

Séries:
critérios de convergência.
Condição necessária de convergência. Não é suficiente:
a série harmónica como contraexemplo.
Séries de termo geral não negativo.
Critérios de comparação.
Critério de d'Alembert e critério da raiz.

Material de estudo:

• [AB] A. Bastos e A. Bravo, Cálculo Diferencial e Integral I. Texto de apoio às aulas, 2010.,   Cálculo Diferencial e Integral I. Texto de apoio às aulas, páginas 161-168.,.
• [S] Exercícios resolvidos:  Séries: secção 5.1. exercícios 1 e 2..
• [CF] J. Campos Ferreira. Introdução à Análise Matemática, Fundação Gulbenkian, 8a ed., 2005.
  
• [MA] Curso em vídeo de Cálculo Diferencial e Integral I, pelo Professor Miguel Abreu - aulas 34 (final) e 35.

Nesta aula continua-se o estudo das séries. Não nos vamos agora ocupar com o cálculo de somas de séries. Dada uma série apenas pretendemos responder à questão: a série dada é convergente ou divergente?

Para isso existem os critérios de convergência. Nesta aula iniciaremos esse estudo com um critério que é aplicável a todos os tipos de séries mas que só será útil para determinar certos casos de divergência: o critério suficiente de divergência. Prosseguimos com os critérios para séries cujos termos são não negativos. Nesta aula estudamos os principais, deixando um último, o critério do integral, para o início da próxima aula.

Mais uma vez se vê a importância de resolverem exercícios para treinar a escolha dos bons critérios a aplicar em cada caso. Reveja as observações feitas no início do guia de estudo da aula teórica anterior.

Temos então como pricipais objectivos no estudo dos conteudos desta aula:

• Perceber bem em que situações o critério suficiente de divergência pode ser útil.
• Depois de reconhecer que uma série dada é de termos não negativos, escolher o melhor critério para aplicar nessa situação concreta. Essa escolha é essencialmente entre:
  1. critérios de comparação (2 e 3);
  2. critérios da raiz e de d'Alembert (4 e 5)

Material de estudo: além deste texto, pode consultar [AB] nas páginas indicadas no link onde poderão ver os resultados com todas as demonstrações detalhadas e mais alguns exemplos. Note contudo esse texto poderá incluir certos aspectos que não vamos considerar nesta disciplina.
É muto importante, além dos exemplos dados neste guia de estudo, estudarem os exercícios resolvidos 1 e 2 da secção 5.1 da lista [S] .
Pode-lhe ser útil visualizar as aulas em video 34 (final) e 35 do Prof. Miguel Abreu disponíveis em [MA].

Séries: critérios de convergência

Na aula anterior iniciámos o estudo das séries apresentando alguns casos importantes em que pudemos estudar completamente a convergência/divergência e mesmo determinar a soma, no caso de convergência porque tínhamos expressões explícitas para as somas parciais dessas séries. Essa situação não é a mais comum. Na realidade, na maior parte dos casos a determinação explícita de uma expressão para as somas parciais é demasiado demasiadamente complicada ou mesmo impossível na prática. Nesses casos, podemos pensar em métodos alternativos de cálculo como, por exemplo, métodos numéricos aproximados. No entanto, antes de investir algum esforço em escolher uma estratégia para abordar desse problema, é importante responder à questão: a série dada é convergente ou divergente? Para isso temos os critérios de convergência os quais não vão dar a soma da série, limitando-se a responder àquela questão.

Por outro lado, não existe um critério que responda àquela questão para todas as séries (se houvesse, bastava estudar esse critério!). O que há são critérios que poderão resolver o problema para classes particulares de séries. Nesta aula vamos apresentar alguns.

Condição necessária de convergência

Teorema (condição necessária de convergência)

Se \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\;\) é uma série convergente, então \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}a_n=0.\)

Por outras palavras, "a sucessão do termo geral de uma série convergente é um infinitésimo."

Seja \((s_n)\) a sucessão das somas parciais da série. Por hipótese a série é convergente e a sua soma será \(\;\displaystyle S=\lim_{n\to \infty}s_n.\;\) Por definição de soma parcial, para \(n=2,3,\dots\) temos, \(s_{n}=s_{n-1}+a_{n}\), e, portanto \[a_n=s_{n}-s_{n-1}\;\to\; S-S=0.\]

Neste ponto é importante perceberem o que é que este teorema diz (e o que é que não diz...) Trata-se de uma implicação, \[\sum_{n=1}^\infty a_n \text{ é convergente }\;\Rightarrow\; \lim a_n=0,\] não de uma equivalência. Isso significa que saber que \(\lim a_n=0\;\) não nos diz absolutamente nada sobre se a série é convergente ou divergente! Para se convencerem desse facto consideramos o seguinte contraexemplo:

Série harmónica

Trata-se da série \[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots\] Não há dúvida que, \[\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}=0.\] No entanto, vamos demonstrar que a série \(\;\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\;\) é divergente! Vamos fazê-lo mostrando que a sucessão das somas parciais não é majorada e, por isso, não é convergente.

O argumento que se baseia em agrupar termos de uma determinada forma e minorar a soma de cada um desses grupos é visualizado da seguinte forma: \[\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\underbrace{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}_{\geqslant 2.\frac{1}{4}=\frac{1}{2}}+ \underbrace{\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}}_{\geqslant 4\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{2}}+ \underbrace{\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16}}_{\geqslant 8\cdot\frac{1}{16}=\frac{1}{2}}+\dots\] Daqui podemos ver que, relativamente às somas parciais temos \[s_2= 1+\frac{1}{2},\qquad s_4\geqslant 1+2\cdot \frac{1}{2},\qquad s_8\geqslant 1+3\cdot \frac{1}{2},\qquad s_{16}\geqslant 1+4\cdot \frac{1}{2},\qquad\dots\] Na realidade, prova-se por indução matemática que \(\;\displaystyle s_{2^k}\geqslant 1+k\cdot\frac{1}{2},\;\) para \(k=1,2,3,\dots\)
Mas então \(\;\displaystyle\lim_{k\to\infty} s_{2^k}=+\infty\;\) e portanto a sucessão das somas parciais \((s_{n})\) não é majorada e, logo, não é convergente em \(\mathbb{R}\).

Conclusão: a série harmónica é divergente, apesar do seu termo geral ser um infinitésimo.

Mas então, como usar este teorema de forma a ajudar-nos a verificar se uma série é ou não convergente? A resposta é o seguinte critério o qual é uma forma equivalente de escrever o teorema anterior:

Critério 1: critério suficiente de divergência.

Se a sucessão \((a_n)\) não tende para \(0\), então a série \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\;\) é divergente.

Exemplo 1. \(\;\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\dots\;\)
Como \(\;\displaystyle \frac{n}{n+1}\;\to\; 1\not=0.\;\) então, \(\;\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}\;\) é uma série divergente.

Exemplo 2. \(\;\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \cos\frac{n\pi}{2}=\cos\frac{\pi}{2}+\cos\frac{2\pi}{2}+\cos\frac{3\pi}{2}+\dots\;\)
Constatamos que \(\;\displaystyle a_n=\cos \frac{n\pi}{2}\;\) tem vários sublimites diferentes. Por exemplo, se \(n\) é ímpar temos \(a_n=0\to 0\). No entanto, se \(n\) é múltiplo de 4, temos \(a_n=1\to 1\). Logo a sucessão \((a_n)\) é divergente e logo, não tende para 0.
Concluimos que \(\;\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \cos\frac{n\pi}{2}\;\) é uma série divergente.

Exemplo 3.\(\;\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \arccos\frac{1}{n}=\arccos \frac{1}{1}+\arccos\frac{1}{2}+\arccos\frac{1}{3}+\dots\;\)
Mas \(\;\displaystyle\arccos\frac{1}{n}\to \arccos 0=\frac{\pi}{2}\not=0.\;\) Logo, \(\;\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \arccos\frac{1}{n}\;\) é uma série divergente.

Séries de termos não negativos

Vamos considerar séries \(\;\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n\;\) com \(\;a_n\geqslant 0.\;\)
Designamos tais séries por séries de termos não negativos, abreviadamente STNN. A razão pela qual estas séries são especiais havendo mais critérios para estas séries do que para as outras, tem que ver com o facto da sucessão das somas parciais de uma STNN ser uma sucessão crescente: \[s_{n+1}-s_n=a_{n+1}\geqslant 0.\] Então, pelo teorema das sucessões monótonas e limitadas:

Prpriedade das séries de termos não negativos (STNN)

Uma STNN é convergente sse a sucessão das somas parciais \((s_n)\) é majorada.

Uma série com termos sem sinal fixo pode ser divergente e, ainda assim, ter a sucessão das somas parciais limitada. Relembre o exemplo \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\) dado na aula anterior. Esta série é divergente e as suas somas parciais só tomam dois valores: \(-1\) e \(0\).

Critério 2: critério de comparação.

Sejam \(\;0\leqslant a_n\leqslant b_n\;\) para todo \(\;n\in\mathbb{N}.\,\) Então,

1. se \(\;\sum_{n=1}^\infty b_n\;\) é convergente, então \(\;\sum_{n=1}^\infty a_n\;\) é convergente;
2. se \(\;\sum_{n=1}^\infty a_n\;\) é divergente, então \(\;\sum_{n=1}^\infty b_n\;\) é divergente.

Demonstração

Relembrando da lógica as propriedades da implicação verificamos que 1. e 2. são proposições equivalentes. Provemos 1.
Considerem-se as somas parciais de ambas as séries: \[s_k=\sum_{n=1}^k a_n\qquad \text{ e }\qquad t_k=\sum_{n=1}^k b_n.\] Obviamente, \(\;s_k\leqslant t_k,\;\) para todo \(k\in\mathbb{N}.\;\) Teremos assim, usando a propriedade das STNN enunciada atrás:
a série \(\;\sum b_n\;\) é convergente \(\;\Rightarrow\;\) a sucessão \(\;(t_k)\;\) é majorada \(\;\Rightarrow\;\) a sucessão \(\;(s_k)\;\) é majorada \(\;\Rightarrow\;\) a série \(\;\sum a_n\;\) é convergente.

Observação importante: como vimos na aula anterior, a convergência de uma série não depende dos primeiros \(p\) termos (\(p\) finito). Logo, o critério anterior ainda é válido se tivermos \(\;0\leqslant a_n\leqslant b_n,\;\) apenas para \(\;n\gt p.\)

Exemplo 4. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n+n}.\;\) Como, \[\;\displaystyle 0\lt \frac{1}{3^n+n}\lt \frac{1}{3^n}=\left(\frac{1}{3}\right)^n\] e a série \(\;\sum\left(\frac{1}{3}\right)^n\;\) é convergente por ser uma série geométrica de razão \(R=1/3\) e logo \(|R|\lt 1,\) concluimos pelo critério de comparação que a série dada é convergente.

Exemplo 5. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1+(-1)^n}{2^n+1}.\;\) Como, \[ 0\leqslant \frac{1+(-1)^n}{2^n+1}\lt \frac{2}{2^n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\] e a série \(\;\sum\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\;\) é convergente por ser uma série geométrica de razão \(R=1/2\) e logo \(|R|\lt 1,\) concluimos pelo critério de comparação que a série dada é convergente.

Exemplo 6. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1+\cos n}{2^n+n}.\;\) A série converge por comparação com a série \(\displaystyle\sum\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}.\)

Exemplo 7. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}}{3^n-1}.\;\) Como, \[ \frac{2^{2n}}{3^n-1}\gt \frac{2^{2n}}{3^n}=\left(\frac{4}{3}\right)^{n}\gt 0\] e a série \(\;\sum\left(\frac{4}{3}\right)^{n}\;\) é divergente por ser uma série geométrica de razão \(R=4/3\) e logo \(|R|\geqslant 1,\) concluimos pelo critério de comparação que a série dada é divergente.

Observação importante: note que para provar a convergência por comparação (exemplos 4-6) a série com que se compara tem que ter os seus termos maiores ou iguais aos da série dada, enquanto que, para provar a divergência (exemplo 7) a série com que se compara tem que ter os seus termos menores ou iguais aos da série dada.

O critério seguinte permite-nos também comparar séries e em várias situações é mais prático que o anterior:

Critério 3: critério de comparação II:

Sejam \(a_n\geqslant 0,\;\) \(b_n\gt 0,\;\) para \(n\in\mathbb{N}.\;\) se \[\lim\frac{a_n}{b_n}=L\not=0,\infty\] então as séries \(\;\sum a_n\;\) e \(\;\sum b_n\;\) têm a mesma natureza.

Demonstração

• \(\sum b_n\) é convergente \(\Rightarrow\) \(\sum (2Lb_n)\) é convergente \(\Rightarrow\) \(\sum a_n\) é convergente.
• \(\sum b_n\) é divergente \(\Rightarrow\) \(\sum (\frac{L}{2} b_n)\) é divergente \(\Rightarrow\) \(\sum a_n\) é divergente.

Observação. Se \(\displaystyle\lim\frac{a_n}{b_n}=0\), então, para todas as ordens \(n\) suficientemente grandes teremos \(a_n\lt b_n\). Neste caso, se \(\sum b_n\) converge, conclui-se do critério de comparação que \(\sum a_n\) também converge. No entanto, se \(\sum b_n\) diverge, nada se conclui em relação à convergência de \(\sum a_n.\)

Se tivermos \(\displaystyle\lim\frac{a_n}{b_n}=+\infty\) então, para \(n\) suficientemente grande teremos \(b_n\lt a_n\) e aplica-se um argumento semelhante.

Exemplo 8. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n-n}.\;\) Como, \[\lim\frac{\frac{1}{3^n-n}}{\frac{1}{3^n}}=\lim\frac{3^n}{3^n-n}=1\not=0,\infty,\] pelo critério 3 concluimos que a série dada tem a mesma natureza que a série geométrica convergente \(\displaystyle\sum \left(\frac{1}{3}\right)^n\). Logo, é convergente.

Exemplo 9. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n+3}{3^n+2}\;\) converge, comparando da mesma forma com \(\displaystyle\sum \left(\frac{2}{3}\right)^n\)

Exemplo 10. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{4^n-n}{3^n-n^2}\;\) diverge, comparando da mesma forma com \(\displaystyle\sum \left(\frac{4}{3}\right)^n\)

Como vemos nos exemplos atrás a ideia é comparar a série dada com uma que sabemos de antemão estudar a sua convergência/divergência. Precisamos assim de ter uma lista de séries referência para usar como comparação. Vamos usar as seguintes:

• Séries geométricas: \(\;\sum R^n\;\) converge sse \(|R|\lt 1\);
• Séries de Mengoli: \(\;\sum(b_n-b_{n+1})\;\) converge sse \((b_n)\) é convergente.

• Séries de Dirichlet: \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{\alpha}}\;\) converge sse \(\alpha \gt 1\).

Séries de Dirichlet:

São séries da forma \[\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^\alpha}=\frac{1}{1^\alpha}+\frac{1}{2^\alpha}+\frac{1}{3^\alpha}+\dots\qquad \alpha\in\mathbb{R}.\] Se \(\alpha \gt 1\) a série é convergente, se \(\alpha\leqslant 1\) a série é divergente.

Este facto será demonstrado na próxima aula como aplicação do critério do integral.

Repare que o caso \(\alpha=1\) é o da série harmónica vista atrás. Séries como \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2},\;\) \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3},\;\) \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{3/2}}\;\) são convergentes enquanto que \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{n}},\;\) \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt[3]{n}},\;\) \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}\;\) são divergentes.

Exemplos de comparação com séries de Dirichlet

Exemplo 11. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+\sqrt{n}}.\;\) A ideia aqui é considerar o termo dominante no denominador do termo geral. Neste caso é \(n^2\) e considera-se a série de Dirichlet \(\;\displaystyle\sum \frac{1}{n^2}.\;\) Como, \[\lim\frac{\frac{1}{n^2+\sqrt{n}}}{\frac{1}{n^2}}=\lim \frac{n^2}{n^2+\sqrt{n}}=1\not=0,\infty,\] pelo critério 3 concluimos que a série dada tem a mesma natureza que a série de Dirichlet com \(\alpha=2\gt 1.\) Logo, é convergente.

Exemplo 12. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n^2+1}{n^3+1}.\;\) A ideia aqui é considerar o termo dominante no numerador do termo geral, neste caso é \(n^2\), e no denominador, neste caso é \(n^3\). Comparamos então com \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n^2}{n^3}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\;\), série de Dirichlet com \(\alpha=1\). Como, \[\lim\frac{\frac{n^2+1}{n^3+1}}{\frac{1}{n}}=\lim \frac{n^3+n}{n^3+1}=1\not=0,\infty\] pelo critério 3 concluimos que a série dada tem a mesma natureza que a série de Dirichlet com \(\alpha=1.\) Logo, é divergente.

Exemplo 13. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{2\sqrt{n}+3}{n^2+n+1}.\;\) Compara-se com \(\;\displaystyle\sum \frac{n^{1/2}}{n^2}=\sum \frac{1}{n^{3/2}}\;\) que é uma série de Dirichlet com \(\;\alpha=3/2\gt 1,\;\) portanto convergente. Logo, a série dada é convergente.

Exemplo 14. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{(\sqrt{n}+1)(n+1)(\sqrt[4]{n}+1)}.\;\) Compara-se com \(\;\displaystyle\sum \frac{n}{n^{1/2+1+1/4}}=\sum \frac{1}{n^{3/4}}\;\) que é uma série de Dirichlet com \(\alpha=3/4\leqslant 1\). Logo, a série dada é divergente.

Critério 4: critério da raiz.

Seja \(a_n\geqslant 0\) tal que existe o seguinte limite em \(\overline{\mathbb{R}}\): \[\lim\sqrt[n]{a_n}=r\,.\]

1. Se \(\;r\lt 1,\;\) então \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\;\) é convergente.
2. Se \(\;r\gt 1,\;\) então \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\;\) é divergente.

Critério 5: critério de d'Alembert (ou da razão).

Seja \(a_n\gt 0\) tal que existe o seguinte limite em \(\overline{\mathbb{R}}\): \[\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=r\,.\]

1. Se \(\;r\lt 1,\;\) então \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\;\) é convergente.
2. Se \(\;r\gt 1,\;\) então \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\;\) é divergente.

Não damos aqui a demonstração detalhada a qual pode encontrar em [AB]. No entanto, tanto num caso como no outro é fácil ver que o caso \(r\gt 1\) conduz a \(\lim a_n=+\infty\) e , portanto a série será divergente. Para \(r\lt 1\) a demonstração de ambos os critérios baseia-se na comparação com uma série geométrica com razão \(R< 1\).

Observações sobre o uso destes dois critérios: Aparentemente estes dois métodos parecem mais fáceis de usar que os de comparação e há a tendência dos alunos se virarem por sistema para o citério de d'Alembert. No entanto é preciso ter em atenção o seguinte:

• Poderão não existir os limites mencionados nos critérios. Para esse caso, obviamente estes critérios serâo inúteis. Pode ainda, no entanto, haver o limite da raiz e não o da razão.
• Ainda que existam aqueles limites, se eles forem iguais a 1 estes critérios nada decidem e teremos que nos virar para os de comparação. Esta situação será no mínimo incoveniente no âmbito, por exemplo, da resolução de uma prova já que o aluno perdeu tempo a tentar aplicar um critério sem sucesso. É importante que o aluno adquira prática na escolha dos critérios.

  Pode-se no entanto dizer, como regra geral que, se \(a_n \) for uma expressão racional em \(n\) ou for uma fracção em que os termos de maior crescimento no numerador e denominador sejam iguais ou inferiores a uma potência de \(n\), os limites mencionados nestes critérios dão 1 e eles nada decidem. Nestas situações deve-se usar um dos critérios de comparação logo de início.
  Veja, por exemplo, o caso da série \[\;\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n}+1}{n^3+1}.\;\] Temos \[\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=1\] e o critério 5 nada decide. No entanto, por comparação é fácil: compara-se com a série \(\;\displaystyle\sum \frac{n^{1/2}}{n^3}=\sum \frac{1}{n^{5/2}}\;\) que é uma série de Dirichlet com \(\;\alpha=5/2\;\) e portanto, convergente. Logo, a série dada é convergente.

Vejam as seguintes aplicações dos critérios 4 e 5:

1. \(\;\displaystyle\sum\frac{n}{2^n}\) é convergente: critério de d'Alembert:
   Resolução: \[\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}} =\lim \frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}\lt 1.\]
2. \(\;\displaystyle\sum\frac{r^n}{n!}\) é convergente: critério de d'Alembert.
3. \(\;\displaystyle\sum\frac{n!}{n^n}\) é convergente: critério de d'Alembert.
4. \(\;\displaystyle\sum\frac{n^2+2^n}{2^n+n!}\) é convergente: critério de d'Alembert:
   Resolução: \[\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim \frac{(n+1)^2+2^{n+1}}{2^{n+1}+(n+1)!}\cdot\frac{2^n+n!}{n^2+2^n} =\lim \frac{2^{n+1}n!}{2^n(n+1)!}\cdot \frac{\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}+1}{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}+1}\cdot \frac{\frac{2^n}{n!}+1}{\frac{n^2}{2^n}+1}=\lim\frac{2}{n+1}=0\lt 1.\] (Relembre a escala de sucessões!)

5. \(\;\displaystyle\sum\left(\frac{n+1}{2n+1}\right)^n\) é convergente: critério da raiz:
   Resolução: \[\lim\sqrt[n]{a_n}=\lim\sqrt[n]{\left(\frac{n+1}{2n+1}\right)^n}=\lim\frac{n+1}{2n+1}=\frac{1}{2}\lt 1.\]
6. \(\;\displaystyle\sum\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}\) é convergente: critério da raiz:
   Resolução: \[\lim\sqrt[n]{a_n}=\lim\sqrt[n]{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}}=\lim\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}=e^{-1}\lt 1.\]
7. \(\;\displaystyle\sum\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}\) é divergente: critério da raiz:
   Resolução: \[\lim\sqrt[n]{a_n}=\lim\sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}}=\lim\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e\gt 1.\]