Aula teórica 33

Séries.
Conceito de convergência de uma série.
Exemplos.
Séries geométricas e de Mengoli.
Propriedades gerais das séries.

Material de estudo:

• [AB] A. Bastos e A. Bravo, Cálculo Diferencial e Integral I. Texto de apoio às aulas, 2010.,   Cálculo Diferencial e Integral I. Texto de apoio às aulas, páginas 153-158.,.
• [CF] J. Campos Ferreira. Introdução à Análise Matemática, Fundação Gulbenkian, 8a ed., 2005.
  
• [MA] Curso em vídeo de Cálculo Diferencial e Integral I, pelo Professor Miguel Abreu - 27.

Nesta aula inicia-se a última parte da matéria da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I a qual vai incidir sobre o estudo das séries. Tal como a primitivação este é um assunto muito prático e que volta a exigir dos alunos um trabalho individual autónomo considerável de estudo e de resolução de exercícios.

Os objectivos principais serão o estudo da convergência/divergência de séries e, nos casos tal como os que veremos nesta aula, o cálculo das suas somas.

A dificuldade desta parte da matéria reside essencialmente na escolha dos métodos correctos a usar no estudo de uma série dada. Para isso, a identificação do tipo de série é fulcral, na medida em que a tipos diferentes de séries aplicam-se métodos em geral diferentes. Daí a importância da resolução de exercícios para ultrapassar essa dificuldade. Verão, no entanto, que depois de algum treino, emerge um padrão que faz com que seja muito fácil resolver os exercícios standard sobre séries, como os que se apresentam nas fichas das aulas práticas.

Nesta aula em particular apresenta-se a noção de convergência de uma série a qual é muito importante que percebam bem desde já.

Ilustra-se esse conceito com alguns exemplos e dão-se duas importantes classes de séries: as séries geométricas e as séries de Mengoli. Estas são aquelas classes que se vai exigir que os alunos saibam calcular explicitamente as suas somas. Nas próximas aulas não vamos estar preocupados com o cálculo de somas das séries mas simplesmente com o determinar se uma série é convergente ou divergente.

No fim dão-se algumas propriedades úteis, quer para a determinação da convergência/divergência das séries, quer para o cálculo das suas somas, quando tal é solicitado.

Temos então como pricipais objectivos no estudo dos conteudos desta aula:

• Perceber a definição de convergência de uma série e saber aplicá-la quando temos uma expressão explícita para as somas parciais.
• Reconhecer uma série geométrica ou uma de Mengoli, saber estudá-la quanto à sua convergência/divergência e, em caso de convergência, calcular a sua soma.
• Usar as propriedades elementares dadas no fim da aula para estudar a convergência/divergência e a soma de uma série que seja construida à custa de outras que já sabemos estudar, nomeadamente as geométricas e as de Mengoli.

Material de estudo: além deste texto, pode consultar [AB] nas páginas indicadas no link onde poderão ver os resultados com todas as demonstrações detalhadas e mais alguns exemplos. Note contudo que a ordem não é exactamente a das aulas e haverá nessas páginas um assunto ou outro que serão dados na próxima aula.
Nas listas de exercícios resolvidos não há exercícios especificamente sobre esta aula. Por isso veja os exemplos dados em baixo e os do texto [AB].
Pode-lhe ser útil visualizar a aula em video 34 do Prof. Miguel Abreu disponível em [MA].

Séries

Motivação

Questão: e se o conjunto de números que queremos somar for infinito? Mais especificamente, se forem todos os termos de uma sucessão dada \(\;(a_n)\), \(\;n\in\mathbb{N}\;\)? Como fazer essa soma? Será de esperar que uma tal soma possa ser um número real (portanto finito)?

A propósito destas questões podemos relembrar o célebre paradoxo de Zenão (sec. IV a.c.): um corredor vai percorrer 1km. Quando percorreu 1/2 km ainda lhe falta percorrer 1/2 km. Percorre mais 1/4 km, ainda lhe falta percorrer 1/4 km. Percorre mais 1/8 km, ainda lhe falta percorrer 1/8 km, e assim sucessivamente. Portanto, em altura nenhuma o corredor atinge a meta!

A anterior conclusão (falsa!) foi tirada no pressuposto que o processo de somar sucessivamente tem que terminar ao fim de um número finito de passos. No entanto, como veremos, temos uma forma de dar sentido à soma de infinitas parcelas \[\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2^n}+\dots\] de forma a que lhe corresponda exactamente o valor total 1.

Outro exemplo: dízimas infinitas periódicas como no caso \[\frac{1}{3}=0,333\dots=0,3+0,03+0,003+\dots+3\cdot 10^{-n}+\dots\]

Convergência de uma série: definição e primeiros exemplos

Seja dada uma sucessão \((a_n)\), \(\;n\in\mathbb{N}\). Pretendemos dar significado à adição de infinitos termos, \[\sum_{n=1}^\infty a_n=a_1+a_2+a_3+\dots.\] a qual designamos por série. Definimos a sucessão das somas parciais desta série por recorrência: \[s_1=a_1,\quad s_{k+1}=s_k+a_{k+1},\quad\text{ para } k=1,2,\dots,\] ou seja, \(s_k\) é a soma dos \(k\) primeiros termos da sucessão \((a_n)\): \[s_k=a_1+a_2+\dots+a_k=\sum_{n=1}^ka_n\,.\]

Definição (convergência de uma série).

Diz-se que a série \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) é convergente se a sucessão das suas somas parciais \((s_k)\) é convergente. Nesse caso, define-se soma da série como sendo \(\displaystyle\lim_{k\to\infty }s_k\) e escrevemos \[\sum_{n=1}^\infty a_n=\lim_{k\to\infty }s_k=\lim_{k\to\infty }\sum_{n=1}^k a_n.\] Uma série que não seja convergente diz-se divergente. Neste caso, a série não tem soma.

Exemplo 1. \(\;a_n=1\), para todo o natural \(n.\) Então \[s_k=1+\dots+1=k\;\to\;+\infty.\] Logo, a série \(\;\displaystyle \sum_{n=1}^\infty 1=1+1+\dots\;\) é divergente.

Exemplo 2. \(\;a_n=(-1)^n,\;\) para todo o natural \(n.\;\) Então, \[s_1=-1,\quad s_2=-1+1=0,\quad s_3=s_2-1=-1\quad s_4=s_3+1=0\,,\quad\dots\] ou seja, \(s_k=-1\) se \(k\) é ímpar e \(s_k=0\) se \(k\) é par.
Logo, a sucessão \((s_k)\) é divergente em \(\mathbb{R}\) e a série \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^n=-1+1-1+\dots\;\) é divergente.

Exemplo 3. \(\;a_n=n\), para todo o natural \(n.\) Então, \(s_k\) é a soma dos \(k\) primeiros termos da progressão aritmética \[s_k=1+2+\dots+k=\frac{k(k+1)}{2}\;\to\; +\infty.\] Logo, a série \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n\;\) é divergente.

Sempre que tivermos uma expressão explícita para as somas parciais \(s_k\) (não acontecerá muitas vezes) podemos investigar a convergência da série e, em caso de convergência, calcular a sua soma usando diretamente a definição acima. É o que aconteceu com os 3 exemplos anteriores e com o seguinte

Exemplo 4. \(\;\displaystyle a_n=\frac{n}{(n+1)!},\;\) para todo o natural \(n.\) Usando o exercício 4.b) da ficha 2, recorda-se que aí provou-se por indução matemática que, \[s_k=\sum_{n=1}^k \frac{n}{(n+1)!}=1-\frac{1}{(k+1)!},\] concluimos que \[\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{(n+1)!}=\lim_{k\to\infty}s_k=1,\] e, portanto, esta série é convergente com soma 1.

É claro que o exemplo anterior serve para ilustrar o conceito de passagem ao limite nas somas pariciais e não é para decorar. No entanto, os três casos seguintes são de enorme importância e consistem naqueles em que o aluno tem que saber a soma quando ela for pedida:

Exemplo 5. \(\;\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots=e.\;\) Relembremos o polinómio de Taylor de ordem \(k\) arbitrário: \[f(x)=e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^k}{k!}+E_k(x),\] onde, de acordo com a fórmula do resto de Lagrange de ordem \(k\), \[E_k(x)=\frac{f^{(k+1)}(c)}{(k+1)!} \quad\text{ para algum }\;c\; \text{ entre }\; 0 \;\text{ e }\;x.\] Logo, \(0\leqslant E_k(1)=\dfrac{e^c}{(k+1)!}\leqslant \dfrac{e^1}{(k+1)!}\;\to\; 0,\) e, portanto, \(\displaystyle\lim_{k\to \infty}E_k(1)=0.\) Assim, \[e=f(1)=\sum_{n=0}^k\frac{1}{n!}+E_k(1)\]

e, portanto, \[\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}=\lim_{k\to \infty}\sum_{n=0}^k\frac{1}{n!}=e-\lim_{k\to\infty}E_k(1)=e.\]

Séries geométricas

• Se \(\;|R|\lt 1\;\) temos \(R^{k+1}\to 0\), e portanto, \(\displaystyle\lim_{k\to \infty}s_k=\frac{1}{1-R}.\)
• Se \(\;|R|\gt 1\;\) temos a sucessão \(R^{k+1}\) não limitada e portanto divergente. Nesse caso, a sucessão \((s_k)\) será divergente.
• Se \(\;R=-1\;\) temos a sucessão \(R^{k+1}=(-1)^{k+1}\) com os dois sublimites diferentes \(1\) e \(-1\) e, portanto a sucessão \(s_k\) é divergente.
• Se \(\;R=1\;\) a expressão para \(s_k\) não é a mesma: neste caso será obviamente \(s_k=1+1+\dots+1=k+1\to\infty.\;\) Logo, a sucessão \(s_k\) é divergente.

Concluimos:

Séries geométricas:

A série geométrica de razão \(R\in\mathbb{R}\) é a série \[\sum_{n=0}^\infty R^k=1+R+R^2+\dots\]

• Se \(|R|\lt 1\) a série é convergente com soma \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty R^k=\frac{1}{1-R}\)
• Se \(|R|\geqslant 1\) a série é divergente.

Se o somatório em vez de começar em \(n=0\), começar em \(n=p\), com \(p\in\mathbb{N}\), temos, \[s_k=R^p+R^{p+1}+R^{p+2}+\dots+R^k=R^p(1+R+R^2+\dots+R^{k-p})=R^p\frac{1-R^{k-p+1}}{1-R},\] e a conclusão será a mesma que a anterior excepto que,

• Se \(|R|\lt 1\) a série é convergente com soma \(\;\displaystyle\sum_{n=p}^\infty R^k=\frac{R^p}{1-R}\)

Exemplo 6. \(\;\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots\; \) é a série geométrica de razão \(\;R=1/2\;\) começando em \(\;n=1.\;\) Como \(|R|\lt 1\), a série é convergente com soma \[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}=\frac{1/2}{1-1/2}=1.\]

Observação: esta é a série que dá a solução para o paradoxo de Zenão apresentado na primeira secção.

Exemplo 7. \(\;\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{1}{2}\right)^n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\dots\; \) é a série geométrica de razão \(\;R=-1/2.\;\) Como \(|R|\lt 1\), a série é convergente com soma \[\sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{1}{2}\right)^n=\frac{1}{1+1/2}=\frac{2}{3}.\]

Exemplo 8. \(\;\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{3}{2}\right)^n=1-\frac{3}{2}+\frac{9}{4}-\frac{27}{8}+\dots\; \) é a série geométrica de razão \(\;R=-3/2.\;\) Como \(|R|\geqslant 1\), a série é divergente.

Exemplo 9. \(\;\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(0.1\right)^n=0.1+0.01+0.001+\dots\; \) é a série geométrica de razão \(\;R=0.1.\;\) Como \(|R|\lt 1\), a série é convergente com soma \[\sum_{n=1}^\infty \left(0.1\right)^n=\frac{0.1}{1-0.1}=\frac{1}{9}.\] Observação. Reparem no que acabámos de demonstrar: \[0.(1)=0.1111...=\frac{1}{9}\quad\text{ e, logo, }\quad 0.(9)=0.9999...=1.\]

Séries telescópicas ou de Mengoli

São séries em que a sucessão de somas parciais se pode calcular usando a propriedade telescópica dos somatórios (relembrar ficha de exercícios 2). Por exemplo, \[\sum_{n=1}^\infty(b_n-b_{n+1}).\] Neste caso, temos, \[s_k=(b_1-b_2)+(b_2-b_3)+(b_3-b_4)+\dots+(b_{n-1}-b_n)+(b_n-b_{n+1})=b_1-b_{n+1}\] (propriedade telescópica dos somatórios). Logo, \[\text{a série é convergente}\;\Leftrightarrow\; s_k\text{ é convergente }\; \Leftrightarrow\; b_1-b_k\text{ é convergente }\;\Leftrightarrow\; b_k\text{ é convergente }\] e a sua soma é \[\sum_{n=1}^\infty(b_n-b_{n+1})=\lim_{k\to \infty}s_k=\lim_{k\to \infty}(b_1-b_{k+1})=b_1-\lim b_n\]

Séries telescópicas ou de Mengoli

são séries da forma \[\sum_{n=1}^\infty(b_n-b_{n+p}),\quad\text{ para algum }p\in\mathbb{N}.\] Se a sucessão \((b_n)\) é convergente, então a série é convergente com soma \[\sum_{n=1}^\infty(b_n-b_{n+p})=b_1+\dots+b_p-p\lim b_n.\]

Exemplo 10. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right).\;\) É série de Mengoli da forma \(\sum (b_n-b_{n+1})\) em que \(b_n=\dfrac{1}{n}\).
Como \(\lim b_n=0\), então a série é convergente com soma \[\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=b_1-\lim b_n=1.\]

Exemplo 11. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{n+1}\right)\right).\;\) É série de Mengoli da forma \(\sum (b_n-b_{n+1})\) em que \(b_n=\cos\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\).
Como \(\lim b_n=\cos 0=1\), então a série é convergente com soma \[\sum_{n=1}^\infty\left(\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{n+1}\right)\right)=b_1-\lim b_n=\cos \pi -1=-2.\]

Exemplo 12. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}\right)= -\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{n}{n+1}-\frac{n+1}{n+2}\right).\;\) Esta última é série de Mengoli com \(b_n=\dfrac{n}{n+1}\).
Como \(\lim b_n=1\), então a série é convergente com soma \[\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}\right)=-(b_1-\lim b_n)=-1/2+1=1/2.\]

Exemplo 13. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\ln\left(\frac{n}{n+1}\right)= \sum_{n=1}^\infty\left(\ln n-\ln(n+1)\right).\;\) Esta última é série de Mengoli com \(b_n=\ln n\).
Como \(\lim b_n=+\infty\), então a série é divergente.

Séries do tipo \[\sum \frac{1}{(n+a)(n+b)}\quad\text{ com } a,b \text{ inteiros }\] podem ser convertidas em séries de Mengoli por decomposição em fracções simples:

Propriedades gerais das séries

Proposição: Propriedades gerais das séries.

• Linearidade:
  1. se \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\;\) é convergente e \(\;c\;\) é uma constante, então \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty ca_n\;\) é convergente e \[\sum_{n=1}^\infty ca_n=c\sum_{n=1}^\infty a_n.\]
  2. se \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\;\) e \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n\;\) são duas séries convergentes, então a série \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (a_n+b_n)\;\) é convergente e \[\sum_{n=1}^\infty (a_n+b_n)=\sum_{n=1}^\infty a_n+\sum_{n=1}^\infty b_n.\]
  3. se \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\;\) é uma série convergente e \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n\;\) é uma série divergente, então a série \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (a_n+b_n)\;\) é divergente.

• Séries que diferem entre si apenas para um número finito de termos

  Sejam \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\;\) e \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n\;\) duas séries tais que, para um certo \(p\in\mathbb{N}\) se tem, \[\forall n\geqslant p\,,\quad a_n=b_n.\] Então, \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\;\) e \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n\;\) têm a mesma natureza, isto é, ou ambas são convergentes ou ambas são divergentes (em geral, com somas diferentes, claro está!).

• 1) e 2) (apenas as ideias): obtêm-se das propriedades já conhecidas para somas de finitos termos (distributiva para 1) e associativa e comutativa para 2)) aplicadas às somas parciais das séries respectivas e passando ao limite quando \(n\to\infty.\)
  3) é consequência de 1) e 2): Suponhamos que \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\;\) e \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (a_n+b_n)\;\) eram convergentes. Então, por 1) e 2), \[\sum_{n=1}^\infty b_n=\sum_{n=1}^\infty (a_n+b_n)-\sum_{n=1}^\infty a_n\] seria convergente. Logo, se \(\sum a_n\) é convergente e \(\sum b_n\) é divergente, então \(\sum(a_n+b_n)\) não pode ser convergente.
• Quanto á última propriedade: sejam \[s_k=\sum_{n=1}^k a_n\quad \text{ e }\quad t_k=\sum_{n=1}^k b_n.\] Então, para todo \(k\gt p\) \[s_k-s_p=a_{p+1}+\dots+a_k=b_{p+1}+\dots+b_k=t_k-t_p.\] Logo a sucessão \((s_k)\) é convergente sse a sucessão \((t_k)\) é convergente. O resultado sai então da definição de convergência de séries atrás.

Exemplo 15. \(\; \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{5\cdot 2^{n-1}}{3^{n+1}}=\frac{5\cdot 2^{-1}}{3}\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{2}{3}\right)^n =\frac{5}{6}\cdot\frac{2/3}{1-2/3}=\frac{5}{3}\,,\)
já que a série geométrica de razão \(R=2/3\) converge (dado que \(|R|\lt 1\)).

Exemplo 16. \(\; \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n+2^n}{4^{n}}=\sum_{n=1}^\infty\left(-\frac{1}{4}\right)^n+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2}\right)^n =\frac{-1/4}{1-1/4}+\frac{1/2}{1-1/2}=\frac{2}{3}\,,\)
já que as séries geométricas de razões \(R=-1/4\) e \(R=1/2\) são convergentes (\(|R|\lt 1\)).

Exemplo 17. \(\; \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n+4^n}{2^{n}}\,,\) é divergente, já que é a soma da série geométrica convergente \(\; \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(-\frac{1}{2}\right)^n\,\) (\(|R|\lt 1\)), com a série geométrica divergente \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty 2^n\;\) (\(|R|\geqslant 1\)).

Observação: pode ocorrer \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\;\) e \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n\;\) serem ambas divergentes mas \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (a_n+b_n)\;\) ser convergente. Um exemplo simples: \[\sum_{n=1}^\infty a_n=\sum_{n=1}^\infty 2^n=2+2^2+2^3+\dots\qquad\text{ e }\qquad \sum_{n=1}^\infty b_n=\sum_{n=1}^\infty (-2^n)=-2-2^2-2^3-\dots\] Então, \[\sum_{n=1}^\infty (a_n+b_n)=\sum_{n=1}^\infty (2^n-2^n)=\sum_{n=1}^\infty 0=0+0+0+\dots\] que é claramente uma série convergente (de soma nula).

Para nós a principal consequência da última propriedade vai ser que, para verificar a convergência ou divergência de uma série, basta ver o que acontece com os seus termos \(a_k\) a partir de alguma ordem \(p\), não sendo preciso considerar os primeiros \(p-1\) termos, se tal der jeito.