O integral (continuação).
O integral indefinido.
O Teorema Fundamental do Cálculo.
Regra de Barrow.
Material de estudo:
Nesta aula estuda-se o Teorema Fundamental do Cálculo o qual, como o nome indica, é um dos resultados mais importantes da disciplina sendo, sem dúvida, o mais importante da parte do Cálculo Integral.
O estudo do material desta aula terá como objectivos (numa ordem arbitrária):
Os exercícios resolvidos da lista [I] correspondente a esta aula são os exercícios 1-9 da secção 4.3.
O material desta aula, nomeadamente as demonstrações que omitimos, pode ser encontrado no texto [AB], páginas 122-125.
Incentiva-se os alunos a visualizarem as aulas em video [MA]: 2ª parte da aula 25 e aula 26.
Antes de introduzirmos o integral indefinido temos que generalizar o símbolo \[\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx.\] Ele foi introduzido no pressuposto que \(a\lt b\). Definimos agora,
Com estas definições pode-se ver que se \(f\) for integrável num intervalo \(I\) e se \(\;a,b,c\in I\;\) independentemente da sua ordenação temos sempre
a propriedade da aditividade do integral
\[\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx\]
vista na aula anterior para o caso \(a\lt c\lt b\).
Exemplo Suponhamos que \(a=2\), \(b=0\), \(c=3\). O resultado da aula anterior diz que
\[\int_0^3 f=\int_0^2 f+\int_2^3 f,\]
ou seja,
\[-\int_0^2 f=\int_2^3 f - \int_0^3 f\]
Usando as definições atrás concluimos que
\[\int_2^0 f=\int_ 2^3 f+\int_3^0 f,\]
que era o que queríamos obter.
Contudo, a propriedade de monotonia não se mantem: se \(\,f\geqslant 0\;\) então, por exemplo, \(\displaystyle\int_1^0 f(x)\,dx=-\int_0^1 f(x)\,dx\leqslant 0.\)
Definição (integral indefinido).Seja \(D\) um intervalo e \(\;f:D\to \mathbb{R},\;\) uma função integrável em qualquer intervalo limitado contido em \(D\). Fixe-se \(a\in D\). O integral indefinido de \(f\) com ponto inicial \(a\) é a função \(\;F_a:D\to\mathbb{R}\;\) dada por \[F_a(x)=\int_a^x f(t)\,dt.\]
Observação importante: O integral indefinido \(\int_a^xf(t)\,dt\) é uma função, o integral definido \(\int_a^bf(t)\,dt\) é um valor numérico.
Uma questão de notação: Para o integral indefinido não podemos usar para variável de integração a mesma letra que usamos para o limite de integração variável, isto é, NÃO podemos usar \(\int_a^xf(x)\,dx\) ou \(\int_a^tf(t)\,dt\). Mas é perfeitamente lícito escrevermos na forma apresentada na definição ou, por exemplo, \(F_a(t)=\int_a^t f(x)\,dx\).
Veja que a propriedade de aditividade implica que
Teorema (continuidade do integral indefinido)Seja \(D\) um intervalo e \(a\in D\). Seja \(f:D\to \mathbb{R}\) integrável em qualquer intervalo limitado contido em \(D\). Então o integral indefinido \(F_a\) é uma função contínua em \(D\).
Suponhamos que \(f\) é contínua num intervalo aberto \(D\). Fixemos \(a\in D\) e consideremos \(x,x_0\in D\). Então, \[\lim_{x\to x_0}\frac{F_a(x)-F_a(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^x f(t)\,dt =\lim_{x\to x_0}f(c_x)=f(x_0)\]
Aqui usou-se o teorema da média para estabelecer para cada \(x\) a existência de \(c_x\) entre \(x\) e \(x_0\) onde \(f(c_x)\) coincide com o valor médio de \(f\) entre \(x\) e \(x_0\). Usou-se também a continuidade de \(f\) no teorema da média e na última igualdade. Mas então demonstrámos:Teorema Fundamental do Cálculo (TFC-1ª versão).De outro modo, nas condições do teorema, temos que, para cada \(x\in D,\) \[\left(\int_a^x f(t)\,dt\right)'=f(x).\] Ou seja, se \(f\) é contínua, então o integral indefinido \(F_a\) é uma primitiva de \(f\).Se \(f\) é contínua no intervalo aberto \(D\) e \(a\in D\), então o integral indefinido \[F_a(x)=\int_a^x f(t)\,dt\] é uma função diferenciável em \(D\) e, para cada \(x_0\in D\) temos, \[F_a'(x_0)=f(x_0).\]
Exemplo 1. seja \(f(x)=e^{-x^2}\). Pelo TFC, podemos dizer que se
\[F(x)=\int_0^x e^{-t^2}\,dt\qquad \text{então}\qquad F'(x)=e^{-x^2},\quad \forall x.\]
Observa-se que, neste caso, não existe uma expressão explícita para o integral indefinido em termos das funções elementares.
Este é um exemplo de uma função que é definida por um integral indefinido: a "função erro" muito importante na estatística: \(\operatorname{erf} (x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}dt.\)
Exemplo 2. \(F(x)=\displaystyle\int_x^{-1}\frac{e^t}{t}dt\quad\) tem domínio \(D=\mathbb{R}^-\). Relembre que \(f(t)=\dfrac{e^t}{t}\) é contínua quer em
\(\;\mathbb{R}^-,\;\) quer em \(\;\mathbb{R}^+\), mas o ponto inicial \(-1\in \mathbb{R}^-.\quad\) Assim, se fosse \(\;x\gt 0\;\) o intervalo de integração seria \([-1,x]\) o que
incluiria o zero, e a função integranda não seria limitada e portanto não integrável nesse intervalo o que é absurdo.
Temos então,
\[F'(x)=\left(\int_x^{-1}\frac{e^t}{t}\right)'=\left(-\int_{-1}^x\frac{e^t}{t}\right)'=-\frac{e^x}{x},\qquad x\lt 0.\]
Exemplo 3. \(G(x)=\displaystyle\int_2^{x^2}\frac{e^t}{t}dt\quad\) tem domínio \(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).
Temos que olhar para a função \(G\) como a função \(F(b(x))\) composta do integral indefinido \(F(x)=\int_2^x \frac{e^t}{t}\,dt\) com \(b(x)=x^2\).
Como \(f(t)=\dfrac{e^t}{t}\) é contínua em \(\mathbb{R}^+\) então é contínua no intervalo fechado entre \(2\) e \(x^2\)e, logo, \(F'(x)=f(x).\)
Usando o teorema da derivada da função composta,
\[G'(x)=\left(F(b(x))\right)'=f(b(x))b'(x)=\frac{e^{x^2}}{x^2}2x=\frac{2e^{x^2}}{x}.\]
Exemplo 4. \(\displaystyle G(x)=\int_x^{x^2}\frac{e^t}{t}dt,\qquad\) tem domínio \(D=\mathbb{R}^+\).
Para derivar \(G\) escrevemos,
\[G(x)=\int_x^a \frac{e^t}{t}dt+\int_a^{x^2} \frac{e^t}{t}dt=-\int_a^x \frac{e^t}{t}dt+\int_a^{x^2} \frac{e^t}{t}dt.\]
Logo, usando o exemplo 3,
\[G'(x)=-\frac{e^x}{x}+\frac{2e^{x^2}}{x}.\]
Os exemplos 2, 3 e 4 são casos particulares do seguinte resultado:
Se \(a(x)\) e \(b(x)\) são diferenciáveis e \(f\) é contínua, então, \[\left(\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)\,dt\right)'=b'(x)f(b(x))-a'(x)f(a(x)).\]Resulta de considerar o integral indefinido de \(f\), \(F(x)=\int_c^xf(t)\,dt\;\) \(c\) fixo, e escrever, \[\left(\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)\,dt\right)'=\left(\int_{c}^{b(x)}f(t)\,dt-\int_{c}^{a(x)}f(t)\,dt\right)' =\left(F(b(x))-F(a(x))\right)'\] e o resultado sai do TFC e da regra de derivação da função composta.
Pode ainda dar-se o caso da expressão integranda envolver \(x\) como no exemplo seguinte
Exemplo 5. \(\displaystyle G(x)=\int_1^{x}\frac{x^2e^t}{t}dt,\quad\) tem domínio \(\mathbb{R}^+\).
Como \(x\) é independente de \(t\), tratamo-lo como uma constante a multiplicar a função integranda. Logo,
\[\left(\int_1^{x}\frac{x^2e^t}{t}dt\right)'=\left(x^2\int_1^{x}\frac{e^t}{t}dt\right)'=2x\int_1^{x}\frac{e^t}{t}dt+x^2\cdot\frac{e^x}{x}.\]
Observação O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece a ligação entre o Cálculo Diferencial (derivadas) e o Cálculo Integral (integrais). À partida nada nos fazia suspeitar que o conceito de derivada e portanto de primitiva, estivesse relacionado com o conceito de integral. Relembremos as interpretações geométricas aparentemente não relacionadas da derivada e do integral.
O seguinte resultado que é uma consequência do anterior é aquele que nos vai fornecer um método para calcular integrais de uma forma sistemática:Teorema Fundamental do Cálculo (TFC-2ª versão): regra de BarrowSeja \(f\) contínua em \([a,b]\) e \(P(f)\) uma primitiva qualquer de \(f\) em \([a,b].\;\) Então, \[\int_a^b f(t)\,dt=P(f)(b)-P(f)(a).\]
Demonstração. O TFC diz-nos que o integral indefinido \(\;\displaystyle F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\;\) é uma primitiva de \(f\) em \([a,b],\) logo, para algum \(C\in\mathbb{R},\) \[F(x)=P(f)(x)+C\] Então, como \(F(a)=0\) e \(F(b)=\int_a^b f(t)\,dt\), temos, \[\int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a)=(P(f)(b)+C)-(P(f)(a)+C)=P(f)(b)-P(f)(a)\,.\]
Notação: escrevemos \[P(f)(b)-P(f)(a)=\left[P(f)\right]_a^b\,.\]
Portanto este teorema transforma o problema do cálculo de um integral num problema de primitivação. Assim, a possibilidade de encontrar uma expressão que dê o valor de um integral depende da nossa capacidade de primitivar a função a integrar.
Nos seguintes exemplos usamos primitivas imediatas e quase-imediatas para calcular os integrais usando a regra de Barrow:Exemplo 6. \(\;\displaystyle \int_1^2 x^5 \,dx=\left[\frac{x^6}{6}\right]_1^2=\frac{2^6}{6}-\frac{1^6}{6}=\frac{63}{6}.\)
Exemplo 7. \(\;\displaystyle \int_0^{\pi/2} \operatorname{sen}x \,dx=\left[-\cos x\right]_0^{\pi/2}=-\cos 0+\cos\frac{\pi}{2}=1.\)
Exemplo 8. \(\;\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \operatorname{sen}x \,dx=\left[-\cos x\right]_{-\pi}^{\pi}=-\cos (-\pi)+\cos\pi=1-1=0.\)
Exemplo 9. \(\;\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x \,dx=\left[\operatorname{sen}x\right]_{-\pi/2}^{\pi/2} =\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}-\operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{2}\right)=1-(-1)=2.\)
Exemplo 10. \(\;\displaystyle \int_{1}^{2} \dfrac{1}{x} \,dx=\left[\ln |x|\right]_{1}^{2}=\ln 2-\ln 1=\ln 2.\)
Exemplo 11. \(\;\displaystyle \int_{-e^3}^{-1} \dfrac{1}{x} \,dx=\left[\ln |x|\right]_{-e^3}^{-1}=\ln 1-\ln e^3=-3.\quad\)
Exemplo 12. \(\;\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2+1} \,dx=\left[\operatorname{arctg}x\right]_{-1}^{1} =\operatorname{arctg}1-\operatorname{arctg}(-1)=\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}.\)
Exemplo 13. \(\;\displaystyle \int_{0}^{1} xe^{-x^2} \,dx=\left[-\frac{e^{-x^2}}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1-e^{-1}}{2}.\)
Exemplo 14. \(\;\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x}{x^4+1} \,dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1} \frac{(x^2)'}{(x^2)^2+1} \,dx= \frac{1}{2}\left[\operatorname{arctg}(x^2)\right]_{0}^{1} =\frac{1}{2}(\operatorname{arctg}1-\operatorname{arctg}0)=\frac{\pi}{8}.\)
Exemplo 15. \(\;\displaystyle \int_{e}^{e^2} \dfrac{1}{x\ln x} \,dx=\int_{e}^{e^2} \dfrac{(\ln x)'}{\ln x} \,dx= \left[\ln |\ln x|\right]_{e}^{e^2}=\ln 2-\ln 1=\ln 2.\)
Na próxima aula exploraremos mais esta relação entre integração e primitivação introduzindo as fórmulas de integração por partes e de integração por substituição de variável que correspondem às técnicas de primitivação com os mesmos nomes.