O integral.
Motivação da definição: "área debaixo do gráfico".
Somas inferiores e superiores.
Material de estudo:
Juntamente com os de limite e de derivada, o de integral é um dos três conceitos mais importantes desta disciplina.
Vamos introduzir a noção de integral de uma função limitada começando com uma motivação baseada na interpretação deste como a
área de uma região do plano limitada entre o eixo das abcissas
e o gráfico da função (no caso de uma função positiva).
Partindo desta motivação na qual vamos considerar aproximações àquela àrea quer por defeito quer por excesso, definimos as somas de Darboux
inferiores e superiores. Servindo-nos dos conjuntos destas somas, definimos o conceito de função integrável e do integral de uma função integrável.
Por fim, terminamos a aula com critérios que vamos usar em seguida para estabelecer a integrabilidade de funções.
O estudo do material desta aula terá como objectivo compreender a definição de integral e através do uso das condições de integrabilidade dadas
em casos simples (ver em particular os exercícios resolvidos 1-4 da lista [I]). Também deverão saber aplicar os teoremas de integrabilidade
das funções contínuas e das funções monótonas e limitadas. No texto [AB] encontram uma exposição detalhada da matéria correspondente a esta aula nas páginas 108-115. No texto em baixo
apresenta-se uma motivação e um resumo dos pontos mais importantes.
Vejam e experimentem usar a applet disponibiizada no fim da 1ª secção.
Incentiva-se os alunos a visualizarem as aulas em video [MA] 25 e 26.
Vamos definir integral de uma função limitada definida num intervalo limitado.
Seja então \(f\) uma função limitada (isto é, minorada e majorada) definida num intervalo \(\;I=\left[a,b\right]\;\) com \(a\lt b\) finitos.
Vamos, numa primeira abordagem, simplificar a interpretação geométrica considerando \(f\) não negativa,isto é, \(\;f(x)\geqslant 0\;\), para todo \(\;x\in I.\). Consideremos o seguinte subconjunto do plano \(0xy\): \[A=\{(x,y)\;:\;0\leqslant y\leqslant f(x)\;\wedge \; a \leqslant x \leqslant b\}.\]
Por outras palavras, \(A\) é a região do plano compreendida entre o eixo das abcissas \(0x\) e o gráfico da função \(f\) para \(x\) entre \(a\) e \(b\). Veja o exemplo na figura em baixo em que \(A\) é a região colorida:
O integral de \(f\) no intervalo \(\;[a,b]\;\) o qual representaremos por \[\int_a^b f(x)\,dx\]
será a área desta região.No caso de \(f(x)=c\) constante, o conjunto \(A\) será o rectângulo \(\;[a,b]\times [0,c]\;\) e, portanto, a sua área será dada por \[\int_a^b f(x)\,dx=(b-a)c.\]
No caso mais geral, vamos aproximá-la pelas somas de áreas de rectângulos de dois modos diferentes: um, por defeito e outro, por excesso, da forma visualizada nas duas figuras seguintes:
Para construir estas aproximações começemos por definir decomposição do intervalo \(I=[a,b]\) como um conjunto \(d\) de pontos interiores de \([a,b],\) \(\;d=\{x_1,x_2,\dots,x_{n-1}\}\) tais que \(a\lt x_1\lt x_2\lt\dots\lt x_{n-1}\lt b\,.\quad\) Os pontos \(a, b\) não fazem parte de \(d\), mas vamos convencionar \(\;x_0=a,\;\) \(x_n=b.\)
Estes pontos decompõem \(I\) em \(n\) subintervalos \(I_1=[a,x_1],\;\) \(I_2=[x_1,x_2],\;\dots\;,\) \(\;I_n=[x_{n-1},b].\) Cada um destes subintervalos constituirá a base de cada um dos rectângulos visualizados em ambas as figuras.
Vejamos as alturas desses rectângulos. Na figura da esquerda, a altura \(m_i\) do rectângulo com base \(I_i=[x_ {i-1}, x_i]\) será o ínfimo dos valores de \(f(x)\) para \(x\in I_i\), enquanto, na figura da direita, a altura \(M_i\) desse mesmo rectângulo será o supremo desses valores: \[m_i= \inf f(I_i),\qquad M_i=\sup f(I_i),\qquad i=1,2,\dots,n\,.\] A soma das áreas dos rectângulos da figura da esquerda designamos por soma inferior relativa à decomposição \(d\) e representaremos por \(s_d\). A soma das áreas dos rectângulos da figura da direita designamos por soma superior relativa à decomposição \(d\) e representaremos por \(S_d\). Ou seja, temos a seguinte
Definição: Dada uma função \(f\) limitada num intervalo \([a,b]\) com \(a\lt b\) finitos, e \(d\) uma decomposição desse intervalo, definem-se as somas de Darboux relativas à decomposição \(d\):
ou, numa forma mais compacta, \[s_d=\sum_{i=1}^n m_i\Delta x_i\;,\qquad\qquad S_d=\sum_{i=1}^n M_i\Delta x_i,\] onde \(\Delta x_i=x_i-x_{i-1}.\;\)
- soma inferior: \(\quad s_d=m_1(x_1-a)+m_2(x_2-x_1)+\dots+m_n(b-x_{n-1}),\)
- soma superior: \(\quad S_d=M_1(x_1-a)+M_2(x_2-x_1)+\dots+M_n(b-x_{n-1}),\)
Reparem que, apesar de neste momento para facilitar a interpretação geométrica, estarmos a considerar \(f\) positiva, esta definição apenas requer que a função seja limitada no intervalo limitado \([a,b]\). Nestas condições é sempre possível formar estas somas porque, pelo axioma do supremo, existem o supremo e ínfimo de \(f\) em cada subintervalo \(I_i\).
Vamos ver um exemplo de construção destas somas e daí partir para o cálculo da área do conunto \(A\):
Seja \(f:[0,1]\to\mathbb{R}\) a função dada por \[f(x)=x^2\,.\] Para cada \(n\in\mathbb{N}\), consideremos a decomposição de \([0,1]\) formada por \(n-1\) pontos igualmente espaçados, isto é, \[d_n=\{x_1,x_2,\dots,x_{n-1}\}=\left\{\frac{1}{n},\;\frac{2}{n},\;\dots ,\frac{n-1}{n}\right\}\] Então, para \(\;i=1,2,\dots,n,\;\) temos \(\;x_i-x_{i-1}=\dfrac{1}{n}\;\;\) (assumindo \(x_0=0,\; x_n=1\)).
Por outro lado, \[m_i=\inf f([x_{i-1},x_i])=x_{i-1}^2=\frac{(i-1)^2}{n^2},\qquad M_i=\sup f([x_{i-1},x_i])=x_{i}^2=\frac{i^2}{n^2}.\] Substituindo em cima nas expressões das somas inferior e superior de Darboux, ficaremos com, \[\begin{aligned} s_{d_n}&=\frac{0^2}{n^2}\cdot\dfrac{1}{n} +\frac{1^2}{n^2}\cdot\dfrac{1}{n}+\dots+\frac{(n-1)^2}{n^2}\cdot\dfrac{1}{n} =\frac{1}{n^3}\left( 1^2+2^2+\dots+(n-1)^2\right)= \frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}=\frac{1}{6}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(2-\frac{1}{n}\right),\\ \\ S_{d_n}&=\frac{1^2}{n^2}\cdot\dfrac{1}{n} +\frac{2^2}{n^2}\cdot\dfrac{1}{n}+\dots+\frac{n^2}{n^2}\cdot\dfrac{1}{n} =\frac{1}{n^3}\left( 1^2+2^2+\dots+n^2\right)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}=\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right), \end{aligned} \] onde se usou a expressão para \(\;1^2+2^2+\dots+n^2\;\) dada no exercício sumplementar 1.c) da ficha 2 das aulas práticas.
Constatemos que \(s_{d_n}\) é crescente em \(n\), que \(S_{d_n}\) é decrescente em \(n\) e que, \[\lim_{n\to\infty}s_{d_n}=\lim_{n\to\infty}S_{d_n}=\frac{1}{3}.\]
Ou seja, faz todo o sentido dizer que a área do conjunto \(A\) neste caso é \(\dfrac{1}{3}\) e, portanto, \[\int_0^1 x^2\,dx=\frac{1}{3}.\] Repare que em rigor, de momento ainda não podemos afirmar este facto uma vez que ainda não definimos o integral, que é o que nos vai ocupar em seguida.
Visualize na seguinte applet o processo acabado de descrever. Para isso sugere-se que:
Em seguida poderá experimentar com outras funções: \(x,\; \cos x,\;\) etc.
Antes de considerarmos a definição de integral precisamos das propriedades destas somas enunciadas na seguinte proposição:
Proposição: Seja \(f\) uma função limitada em \(I=[a,b]\), com \(a\lt b\) finitos. Então, para cada decomposição \(d\) deste intervalo, existem \(s_d\) e \(S_d\) e \[s_d\leqslant S_d.\] Se \(d\) e \(d'\) são duas decomposições de \(I\) tais que \(\;d\subset d'\;\) (\(d'\)decompõe \(I\) em mais subintervalos que \(d\)) então, \[s_d\leqslant s_{d'},\qquad S_d\geqslant S_{d'}.\] Se \(d\) e \(d'\) são duas decomposições quaisquer de \(I\), então \[s_d\leqslant S_{d'}.\]
Podem ver as demonstrações destas afirmações no texto [AB] (proposições 4.1.37 e 4.1.38)
SejamGrosso modo, no caso de \(f\) positivo, \(\;\underline{\int_I}f\;\) é o melhor que será possível aproximar a "área debaixo do gráfico" usando apenas somas inferiores, enquanto que \(\;\overline{\int_I}f\;\) é o melhor que será possível aproximar a "área debaixo do gráfico" usando apenas somas superiores. No caso da secção anterior estes dois valores eram iguais (=1/3). No entanto, apesar de existirem para qualquer função \(f\) limitada, podem não ser iguais, como veremos num exemplo a seguir. Temos então:Definição: Dada uma função \(f\) limitada em \(I=[a,b]\), com \(a\lt b\) finitos, definem-se:
De forma mais compacta poderemos escrever \(\;\underline{\int_I}f\;\) e \(\;\overline{\int_I}f.\)
- integral inferior de \(f\) em \(I\): \[\underline{\int_a^b}f(x)\,dx = \sup \sigma\,. \]
- integral superior de \(f\) em \(I\): \[\overline{\int_a^b}f(x)\,dx = \inf \Sigma\,. \]
Definição: Seja \(f\) uma função limitada em \(I=[a,b]\) com \(a\lt b\) finitos. Se \[\underline{\int_a^b}f(x)\,dx =\overline{\int_a^b}f(x)\,dx=\alpha\] diz-se que \(f\) é integrável em \(I\) e, nesse caso (e apenas nesse caso!), define-se o integral de \(f\) em \(I\): \[\int_a^b f(x)\,dx=\alpha.\] De uma forma mais compacta podemos escrever \(\int_I f\,.\)
Reparem que qualquer função limitada em \(I\) tem os integrais inferior e superior, podendo no entanto, não ser integrável.
A seguir dão-se dois exemplos especiais nos quais conseguimos caracterizar completamente os conjuntos \(\sigma\) e \(\Sigma\) e daí estudar a integrabilidade directamente da definição:
\(f(x)=c\;\) constante, no intervalo \(I=[a,b]\).
Como \(\inf f(I)=\sup f(I)=c\;\), temos para a decomposição vazia, \(d=\emptyset,\) \[s_{\emptyset}=S_{\emptyset}=c(b-a).\] Pelas propriedades das somas de Darboux enunciadas na proposição acima, temos, para qualquer decomposição \(d\), dado que \(\emptyset\subset d\), \[c(b-a)\leqslant s_d\leqslant S_d\leqslant c(b-a),\] e, logo, qualquer que seja a decomposição \(d\), teremos \[s_d=S_d=c(b-a).\] Logo, \[\sigma=\Sigma=\{c(b-a)\}\] e, portanto, \[\underline{\int_a^b}c\,dx=\sup \sigma=c(b-a),\qquad \overline{\int_a^b}c\,dx=\inf \Sigma=c(b-a).\] Concluimos que \(f(x)=c\) é integrável em \([a,b]\) e que \[\int_a^b c\,dx=c(b-a).\]
Tome-se uma decomposição \(d\) qualquer e sejam \(I_j\), \(j=1,2,\dots,n\) os subintervalos em que \(d\) decompõe \(I\). Como sabemos que em qualquer intervalo não degenerado existem sempre números racionais e números irracionais, temos, \[\inf f(I_i)=0\qquad\text{ e }\qquad \sup f(I_i)=1,\] e, portanto, \[s_d=0(x_1-a)+0(x_2-x_1)+\dots+0(b-x_{n-1})=0,\qquad\quad S_d=1(x_1-a)+1(x_2-x_1)+\dots+1(b-x_{n-1})=b-a.\] Então, \[\sigma=\{0\}\qquad\text{e}\qquad\quad \Sigma=\{b-a\}\] e, \[\underline{\int_a^b}f(x)\,dx=\sup\sigma=0,\qquad\quad \overline{\int_a^b}f(x)\,dx=\inf \Sigma=b-a\] Como \(\underline{\int_I}f\not=\overline{\int_I}f\,dx\) concluimos que a função de Dirichlet \(f\) não é integrável em nenhum intervalo \(I\) não degenerado.
Teorema (critério geral de integrabilidade) Seja \(f\) uma função limitada em \(I=[a,b]\) com \(a\lt b \) finitos. Então,
- \(f\) é integrável em \(I\) sse, para qualquer \(\varepsilon>0\) existe uma decomposição \(d\) de \(I\), tal que \[S_d-s_d\lt\varepsilon\,.\]
- \(f\) é integrável em \(I\) e \(\;\int_I f=\alpha\;\) sse, para qualquer \(\varepsilon>0\) existe uma decomposição \(d\) de \(I\), tal que \[s_d\gt \alpha-\varepsilon,\qquad \text{e}\qquad S_d\lt\alpha+\varepsilon.\]
A afirmação 2. dá mais informção que a 1. No entanto a primeira é útil quando se pretende apenas provar que uma função é integrável sem ligarmos ao valor do integral.
Podem ver a demonstração deste resultado e do corolário seguinte no texto [AB] (proposição 4.2.1 e corolário 4.2.2).
Talvez a forma mais prática de usar este resultado seja através da seguintre consequência:
Corolário Seja \(f\) uma função limitada num intervalo \(I=[a,b]\) com \(a\lt b\) finitos. Então \(f\) é integrável em \(I\) sse, para cada \(n\in\mathbb{N}\), existe uma decomposição \(d_n\) tal que, \[\lim_{n\to\infty}(S_{d_n}-s_{d_n})=0,\] e nesse caso, \[\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to \infty} s_{d_n}=\lim_{n\to \infty}S_{d_n}.\]
Exemplo: exemplo \(f(x)=x^2\) no intervalo \(I=[0,1]\) revisitado:
Neste exemplo da secção anterior que serviu de ilustração de construção de somas inferiores e superiores, considerámos, para cada \(n\in\mathbb{N}\),
a decomposição que consistia em dividir \(I\) em \(n\) subintervalos comprimento \(1/n\). Concluimos então que,
\[\lim_{n\to \infty}s_{d_n}=\lim_{n\to \infty}S_{d_n}=\frac{1}{3}.\]
Na altura tomámos este valor como a área do conjunto "debaixo do gráfico" e motivámos o conceito de integral como sendo esta área. Ora,
esta construção serve agora, usando o corolário atrás, para afirmar rigorosamente que a função \(f(x)=x^2\) é integrável no intervalo \([0,1]\)
com integral
\[\int_0^1 x^2\,dx=\frac{1}{3}.\]
Exercício: Repita o procedimento para a função \(\;f(x)=x\;\) no intervalo \(\;I=[0,1]\;\) mostrando que, neste caso, \[\lim_{n\to \infty}s_{d_n}=\lim_{n\to\infty}S_{d_n}=\frac{1}{2},\] e que, portanto, \[\int_0^1 x\,dx=\frac{1}{2}.\] Repare que se trata da área de um triângulo de base 1 e altura 1.
Também usando este corolário podemos estabelecer o seguinte resultado que cobre uma família importante de casos:
Teorema. Seja \(\;I=[a,b]\;\) com \(\;a\lt b\;\) finitos. Então qualquer função monótona e limitada em \(\;I\;\) é integrável neste intervalo.
Demonstração Suponhamos que \(f\) é crescente. O caso decrescente é análogo e fica como exercício.
Vamos considerar, para cada \(n\in\mathbb{N}\), a decomposição que consiste em dividir o intervalo \([a,b]\) em \(n\) subintervalos de igual comprimento \(\frac{b-a}{n}\): \(d_n=\{a+\frac{b-a}{n},a+\frac{2(b-a)}{n},\dots,a+\frac{(n-1)(b-a)}{n}\}\). Então, para \(i=1,2,\dots,n,\;\) temos, \[m_i=\inf f([x_{i-1},x_i])=f(x_{i-1}),\qquad M_i=\sup f([x_{i-1},x_i])=f(x_i),\] e, portanto, \[\begin{aligned} s_{d_n}&=\sum_{i=1}^n m_i(x_i-x_{i-1})=\sum_{i=1}^n f(x_{i-1})\frac{b-a}{n}\\ S_{d_n}&=\sum_{i=1}^n M_i(x_i-x_{i-1})=\sum_{i=1}^n f(x_{i})\frac{b-a}{n}. \end{aligned}\] Logo, \[S_{d_n}-s_{d_n}=\sum_{i=1}^n (f(x_i)-f(x_{i-1}))\frac{b-a}{n}=\frac{(f(b)-f(a))(b-a)}{n},\] pela propriedade telescópica dos somatórios (repare que esta diferença é a área de um rectângulo de base \(\frac{b-a}{n}\) e altura \(f(b)-f(a)\)). Conclusão: \[\lim_{n\to \infty}(S_{d_n}-s_{d_n})=0\] e segue-se, pelo corolário atrás, que \(f\) é integrável em \([a,b]\).O seguinte teorema estabelece a integrabilidade numa outra classe importante de funções. A sua demonstração sai fora do âmbito desta disciplina:
Teorema. Seja \(\;I=[a,b]\;\) com \(\;a\lt b\;\) finitos. Então qualquer função contínua em \(\;I\;\) é integrável neste intervalo.
Exemplo 1: \(f(x)=\cos x\) é integrável em qualquer intervalo \([a,b]\) com \(a\lt b\) finitos, porque a função cosseno é contínua em \(\mathbb{R}\).
Exemplo 2:\(f(x)=\operatorname{tg}x\) no intervalo \(I=\left[0,\frac{\pi}{4}\right]\) por que a função tangente é contínua neste intervalo.
Mais geralmente, as funções elementares vistas e suas compostas, somas, diferenças e quocientes são integráveis nos intervalos fechados e limitados nos quais essas funções são contínuas. O que é acontece quando \(f\) não é contínua? Já estudámos a função de Dirichlet como o exemplo de uma função não integrável em nenhum intervalo. Portanto põe-se a questão de como estudar a integrabilidade nesses casos. No entanto, se a função for monótona e limitada em \([a,b]\), mesmo que descontínua, também já sabemos que ela é integrável pelo teorema em cima.
Exemplo 3: A função de Heaviside \(f(x)=\begin{cases}0 &\text{ se }x\lt 0\\ 1 &\text{ se }x\geqslant 0\end{cases}\quad\) no intervalo \(I=[-1,1]\).
\(f\) é crescente (não estritamente, como é óbvio) e é limitada (\(0\leqslant f(x)\leqslant 1\)). Logo, a função de Heaviside é integrável no intervalo fechado e limitado \(I\), apesar de não ser contínua.Na próxima aula veremos como podemos estudar a integrabilidade de mais algumas classes de funções descontínuas e consideraremos resultados que nos vão ser úteis para o cálculo de integrais.