Primitivas (conclusão).
Primitivação por substituição de variável.
Material de estudo:
Nesta aula concluimos os métodos de primitivação, com a primitivação por substituição de variável. O objectivo aqui continua a ser muito prático: é saber primitivar exemplos concretos. O texto abaixo vai nesse sentido.
Reitera-se o comentário das aulas anteriores de que é muito importante os alunos resolverem exercícios de forma autónoma. Só assim é que o aluno fica preparado para escolher as boas opções no cálculo de uma primitiva que use os métodos dados.
Sugere-se que depois de estudado o texto em baixo vejam os exercícios 3,4 e 5 da lista [P], além de,claro está, resolver os exercícios das aulas de problemas.
Poderá ser-lhes útil assistir às aulas digitais 27 e 28 do Prof. Miguel Abreu [MA] tendo em atenção que alguma da matéria aí exposta ainda não foi dada nesta cadeira.
O método de substituição de variável consiste em encontrar a primitiva de uma função dada reduzindo o problema original ao cálculo de uma primitiva imediata, quase-imediata ou de uma função racional. Por exemplo, se nos for pedido para calcular a primitiva de uma função como \[f(x)=\frac{e^x}{e^{2x}+2e^x+1}\] poderemos pensar que a substituição \(y=e^x\) converte a função dada numa função racional que conseguimos primitivar. A questão é se há alguma relação entre a primitiva da função \(f(x)\) e a dessa função racional em \(y\). A resposta é não! No entanto, há um procedimento um pouco mais complicado que esse que nos permite, usando essa mesma substituição, transformar a primitiva de \(f(x)\) na de uma outra função racional que essa, sim, está relacionada com a de \(f(x)\) e pode ser usada para a calcular. Esse procedimento é baseado no teorema de derivação da função composta. Relembremos que já usámos este teorema para fazer primitivação quase-imediata: \[P(f(u(x))u'(x))=F(u(x))\qquad \text{ou, na outra notação,}\qquad \int f\left(u(x)\right)u'(x)\,dx=F\left(u(x)\right).\] se conhecermos de antemão a primitiva \[F(x)=Pf(x)\qquad\text{ou, na outra notação,}\qquad F(x)=\int f(x)\,dx.\] Era este resultado que nos permitia, por exemplo, primitivar \(\;\dfrac{u'}{1+u^2},\;\) uma vez sabendo primitivar \(\;\dfrac{1}{1+x^2}\).
Nesta aula vamos apenas usar a notação do integral que é a mais conveniente para o método de substituição.
No método de substituição seguimos uma perspectiva diferente da anterior:
Objectivo: calcular \(\displaystyle F(x)=\int f(x)\,dx,\;\) usando uma "nova variável" \(y\).
Aqui é preciso esclarecer que escolher uma "nova variável" significa dar uma função injectiva \(g\) que nos permite dar a variável original \(x\) em função da nova, \(x=g(y)\), e dar a nova em função da original, \(y=g^{-1}(x).\)
Como, \[\int f\left(g(y)\right)g'(y)\,dy=F\left(g(y)\right),\] se soubermos calcular a primitiva do 1º membro, obtemos uma função de \(y\) a qual, se voltarmos à variável original \(x\) substituindo \(y=g^{-1}(x)\), nos dá \[\left[\int f\left(g(y)\right)g'(y)\,dy\right]_{y=g^{-1}(x)}=F\left(g(g^{-1}(x))\right)=F(x),\] que é o que queríamos calcular.
Temos então:
Método de primitivação por substituição de variável
Objectivo: calcular \(\displaystyle \int f(x)\,dx\)
- Escolhe-se uma nova variável \(y\) relacionada com a original \(x\) através de \(\;x=g(y)\;\) e \(\;y=g^{-1}(x)\;\);
- Calcula-se \(\;g'(y)\);
- Calcula-se a primitiva \(\;\displaystyle\int f(g(y))g'(y)\,dy\quad\) (uma função de \(y\));
- Fazendo a substituição inversa \(y=g^{-1}(x)\) na expressão em \(y\) calculada no ponto anterior, obtem-se a primitiva pretendida.
Exemplo.
Consideremos o problema proposto no início da aula: calcular \[\int\frac{e^x}{e^{2x}+2e^x+1}\,dx\] Substituição de variável: \(\;y=e^x\;\) (\(=g^{-1}(x)\) ) logo, \(x=\ln y\;\) (\(=g(y)\)).
Logo, \(\;g'(y)=\dfrac{1}{y}\;\) e a primitiva a calcular na variável \(y\) será \[\int \frac{y}{y^2+2y+1}\cdot\frac{1}{y}\,dy=\int \frac{1}{y^2+2y+1}\,dy=\int \frac{1}{(y+1)^2}\,dy=-\frac{1}{y+1}\,.\] A resposta será, \[\int\frac{e^x}{e^{2x}+2e^x+1}\,dx=-\frac{1}{e^x+1}\,.\]
Observação importante: Reparem que a expressão em \(y\) que se primitiva não é simplesmente \(f(x)\) escrita na nova variável: é preciso multiplicá-la também pelo factor \(g'(y)\).
Aqui introduzimos uma notação muito mais conveniente para este método, principalmente tendo em vista a observação anterior.
Notação de Leibniz para a derivada. Por conveniência, introduzimos aqui uma notação da qual nunca necessitámos até aqui, mas que é muito útil na aplicação do método de substituição de variável. Seja \(f\) uma função diferenciável. Olhemos para a função como uma forma de relacionarmos duas variáveis: \(x\), a variável independente, e \(y\), a variável dependente. Escrevemos então \(y=f(x)\) e introduzimos o símbolo \[\frac{dy}{dx}=f'(x)\] e dizemos que \(\dfrac{dy}{dx}\) é a notação de Leibniz para a derivada. Esta notação joga bem, em particular, com a regra de derivação da função inversa: Se \(x=f^{-1}(y)\) então, \[\frac{dx}{dy}=\left(f^{-1}(y)\right)'=\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}.\] Exemplo: se \(y=f(x)=x^3\) então \(\dfrac{dy}{dx}=3x^2.\;\) Como \(x=\sqrt[3]{y}\;\) temos \(\dfrac{dx}{dy}=\left(\sqrt[3]{y}\right)'=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{y^2}}.\;\) Reparem que esta derivada também podia ter sido calculada usando \[\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}=\frac{1}{3x^2}=\frac{1}{3\sqrt{y^2}}.\]
Temos então,
Fórmula de primitivação por substituição de variável com notação de Leibniz
\[\int f(x)\,dx=\int f\left(x(y)\right)\frac{dx}{dy}\,dy\qquad\text{com}\qquad y=g^{-1}(x),\] onde se subentende que \(x(y)=g(y)\).
Reparem com a notação é sugestiva...
Exemplos
\(\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\,dx\)
Fazendo \(\;y=\sqrt{x}\;\), temos \(\;x=y^2\;\) e, logo, \(\;\frac{dx}{dy}=2y\;\) e \[\int \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\,dx=\int \frac{1}{y(1+y^2)}2y\,dy =2\int \frac{1}{1+y^2}\,dy=2\operatorname{arctg}y=2\operatorname{arctg}\left(\sqrt{x}\right)\] Reparem que o cálculo só está completo quando obtemos a primitiva como uma função de \(x\).
\(\displaystyle\int \frac{1}{x^3}\cos\left(\frac{1}{x}\right)\,dx\)
Fazendo \(y=\dfrac{1}{x},\;\) temos \(x=\dfrac{1}{y},\;\) e \(\;\dfrac{dx}{dy}=-\dfrac{1}{y^2}.\;\) Logo, \[\begin{aligned}\int \frac{1}{x^3}\cos\left(\frac{1}{x}\right)\,dx&=\int y^3\cos y\cdot\left(-\frac{1}{y^2}\right)\,dy =-\int y\cos y\,dy\\ &=-y\operatorname{sen}y+\int \operatorname{sen}y\,dy=-y\operatorname{sen}y-\cos y= -\frac{1}{x}\operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)-\cos\left(\frac{1}{x}\right) \end{aligned}\]
\(\displaystyle\int \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+x}\,dx\)
Fazendo \(\;y=\sqrt{x}\;\) obtemos \(\;x=y^2\;\) e \(\;\dfrac{dx}{dy}=2y\;\) e \[\int \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+x}\,dx=\int \frac{y+3}{y+y^2}2y\,dy =2\int \frac{y+3}{1+y}\,dy=2y+4\ln|y+1|=2\sqrt{x}+4\ln|\sqrt{x}+1|\,.\]
(Calcule a primitiva da função racional)
Em geral, para funções racionais de \(\sqrt[p]{x}\) faz-se \(y=\sqrt[p]{x}.\)
\(\displaystyle\int \frac{2e^x}{e^{2x}+2e^x+2}\,dx\)
Fazendo \(\;y=e^x\;\) obtemos \(\;x=\ln y\;\) e \(\;\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{y}\;\) e \[\int \frac{2e^x}{e^{2x}+2e^x+2}\,dx=\int \frac{2y}{y^2+2y+2}\cdot\frac{1}{y}\,dy =\int \frac{2}{y^2+2y+2}\,dy\,.\] Notando que \(y^2+2y+2\) não tem raizes, pode ser escrito como \((y+1)^2+1\), temos \[\int \frac{2}{y^2+2y+2}\,dy=\int\frac{2(y+1)}{(y+1)^2+1}dy -\int\frac{2}{(y+1)^2+1}=\ln((y+1)^2+1)-2\operatorname{arctg}(y+1)\] e concluimos: \[\int \frac{2e^x}{e^{2x}+2e^x+2}\,dx=\ln((e^x+1)^2+1)-2\operatorname{arctg}(e^x+1)\,.\] Em geral, para funções racionais de \(e^x\), faz-se \(y=e^x\,.\)
\(\displaystyle\int \frac{1}{x(1-\ln^2 x)}\,dx\)
Fazendo \(\;y=\ln x\;\) obtemos \(\;x=e^y\;\) e \(\;\dfrac{dx}{dy}=e^y\;\) e \[\int \frac{1}{x(1-\ln^2 x)}=\int \frac{1}{e^y(1-y^2)}e^y\,dy=\int \frac{1}{1-y^2}\,dy =-\frac{1}{2}\ln\left|\frac{y-1}{y+1}\right|=-\frac{1}{2}\ln\left|\frac{\ln x-1}{\ln x+1}\right|.\] (Calcule a primitiva da função racional)
\(\displaystyle\int \frac{\operatorname{tg}x}{\operatorname{tg}x+1}\,dx\quad\) para \(x\in\left]-\pi/2,\pi/2\right[.\)
Fazendo \(\;y=\operatorname{tg}x\;\) obtemos \(\;x=\operatorname{arctg}y\;\) e \(\;\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{1+y^2}\;\) e \[\int \frac{\operatorname{tg}x}{\operatorname{tg}x+1}\,dx=\int \frac{y}{(y+1)(1+y^2)}\,dy.\] Exercício: Calcule a primitiva desta função racional e obtenha \[\int \frac{\operatorname{tg}x}{\operatorname{tg}x+1}\,dx =-\frac{1}{2}\ln|\operatorname{tg}x+1|+\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\ln (1+\operatorname{tg}^2x)\]
\(\displaystyle\int \frac{1}{\cos x}\,dx\quad\) para \(x\in\left]-\pi/2,\pi/2\right[.\)
Fazendo \(\;y=\operatorname{sen}x\;\) obtemos \(\;x=\operatorname{arcsen}y\;\) e \(\;\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}}\;\) e \[\begin{aligned}\int \frac{1}{\cos x}\,dx&=\int \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\,dy=\int\frac{1}{1-y^2}\,dy\\ &=\frac{1}{2}\ln|y+1|+\frac{1}{2}\ln|y-1|=\frac{1}{2}\ln|\operatorname{sen}x+1|+\frac{1}{2}\ln|\operatorname{sen}x-1|\end{aligned}\]
\(\displaystyle\int \frac{\operatorname{sen}x}{\operatorname{sen}^2x+2\cos x-2}\,dx\quad\) para \(x\in\left]0,\pi\right[.\)
Fazendo \(\;y=\cos x\;\) obtemos \(\;x=\operatorname{arccos}y\;\) e \(\;\dfrac{dx}{dy}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}}\;\) e \[\begin{aligned}\int \frac{\operatorname{sen}x}{\operatorname{sen}^2x+2\cos x-2}\,dx&=\int \frac{\sqrt{1-y^2}}{(1-y^2)+2y-2}\left(-\dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}}\right)\, dy\\ &=\int\frac{1}{y^2-2y+1}\,dy=\int\frac{1}{(y-1)^2}\,dy=-\frac{1}{y-1}=\frac{1}{1-\cos x}. \end{aligned}\]
Recapitulando: Em todos os casos excepto o 2. o método de primitivação por substituição conduziu-nos à primitivação de funções racionais. No exemplo 2. obtivemos uma primitivação por partes, o que é outra possibilidade.
É suposto os alunos conseguirem calcular as primitivas quando a substituição é dada. Em certos casos mais evidentes, como nos casos 3. e 4. os alunos deverão saber deduzir a substituição adequada.