Aula teórica 26

Primitivas.
Polinómios trigonométricos
Primitivação por partes

Material de estudo:

• [AB] A. Bastos e A. Bravo, Cálculo Diferencial e Integral I. Texto de apoio às aulas, 2010.,   Cálculo Diferencial e Integral I. Texto de apoio às aulas,.
• [P] Exercícios resolvidos: Primitivas - Exercício 1.
• [CF] J. Campos Ferreira. Introdução à Análise Matemática, Fundação Gulbenkian, 8a ed., 2005.
  

Nesta aula continuamos com métodos de primitivação, desta vez com uma aplicação da primitivação imediata a produtos de potências de seno e cosseno (polinómios trigonométricos) e, mais importante, o método de primitivação por partes.

Reitera-se o comentário da aula anterior de que é muito importante os alunos resolverem exercícios de forma autónoma. Só assim é que o aluno fica preparado para escolher as boas opções no cálculo de uma primitiva que use os métodos dados.

Sugere-se que depois de estudado o texto em baixo vejam os exercícios 1 a)-m) da lista [P], além de,claro está, resolver os exercícios das aulas de problemas.

Primitivas

Polinómios trigonométricos

Polinómios trigonométricos são somas de parcelas \(a\operatorname{sen}^nx\cos^mx\) com \(n,m\) naturais. Podemos usar primitivação quase-imediata para calcular as primitivas destas funções.

Caso 1. Funções tipo \(\;\cos^nx\operatorname{sen}x\;\) e \(\;\operatorname{sen}^n\cos x.\) São primitivas tipo potência:

Exemplo 1. \(\;\displaystyle P(\cos^5x\operatorname{sen}x)=-P(\cos^5x(\cos x)')=-\frac{\cos^6x}{6}\)

Exemplo 2. \(\;\displaystyle P(\operatorname{sen}^7x\cos x)=P(\operatorname{sen}^7x(\operatorname{sen} x)') =\frac{\operatorname{sen}^8 x}{8}\)

Em geral,

\[P(\cos^nx\operatorname{sen}x)=-\frac{\cos^{n+1}x}{n+1}\qquad\qquad P(\operatorname{sen}^nx\cos x)=\frac{\operatorname{sen}^{n+1}x}{n+1}\]

Caso 2. Funções tipo \(\;\cos^nx\operatorname{sen}^mx\;\) com \(n\) ou \(m\) ímpar. Reduz-se ao caso 1 usando a igualdade \[\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1.\]

Exemplo 3.

\(\begin{aligned}\displaystyle P(\operatorname{sen}^2x\cos^3 x)&=P(\operatorname{sen}^2x\cos^2 x\cos x)=P(\operatorname{sen}^2x(1-\operatorname{sen}^2 x)\cos x) =P(\operatorname{sen}^2x\cos x)-P(\operatorname{sen}^4x\cos x)\\&=\frac{\operatorname{sen}^3x}{3}-\frac{\operatorname{sen}^5x}{5}\end{aligned}\)

Exemplo 4.

\(\begin{aligned}\displaystyle P(\operatorname{sen}^5x\cos^4 x)&=P(\operatorname{sen}^4x\cos^4x\operatorname{sen}x) =P((1-\cos^2x)^2\cos^4 x\operatorname{sen}x)\\ &=P((1-2\cos^2x+\cos^4 x)\cos^4 x\operatorname{sen}x)\\ &=P(\cos^4x\operatorname{sen}x)-2P(\cos^6x\operatorname{sen}x)+P(\cos^8x\operatorname{sen}x)\\ &=\frac{\cos^5x}{5}-2\frac{\cos^7x}{7}+\frac{\cos^9x}{9} \end{aligned}\)

Caso 3. Funções tipo \(\;\cos^nx\operatorname{sen}^mx\;\) com ambos \(n\) e \(m\) pares. Reduz-se ao caso 2 usando a igualdades \[\operatorname{sen}^2x=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)\qquad\qquad \cos^2x=\frac{1}{2}(1+\cos 2x),\] que resultam da igualdade \(\cos 2x=\cos^2x-\operatorname{sen}^2x.\)

Exemplo 5.

\(\displaystyle P(\operatorname{sen}^2x)=P\left(\frac{1}{2}(1-\cos 2x)\right)=\frac{x}{2}-\frac{\operatorname{sen}2x}{4} \)

Exemplo 6.

\(\displaystyle P(\operatorname{sen}^2x\cos^2x)=\frac{1}{4}P\left((1-\cos 2x)(1+\cos 2x)\right)=\frac{1}{4}P\left(1-\cos^22x\right)= \frac{1}{4}P\left(1-\frac{1}{2}(1+\cos 4x)\right)=\frac{x}{8}-\frac{\operatorname{sen}4x}{32} \)

Primitivação por partes

O método de primitivação por partes é uma consequência da regra de derivação do produto. Relembrem: \[(fg)'=f'g+fg'\,,\] ou seja, \[fg=P(f'g+fg')=P(f'g)+P(fg')\]

Fórmula de primitivação por partes: \[P(f'g)=fg-P(fg')\qquad\text{ ou, na notação de integral, }\qquad\int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx\]

Para este método ser aplicado é preciso identificar a função a integrar como o produto de duas funções:

• \(g(x)\) para a qual vai ter que se calcular a derivada \(g'(x)\)
• \(f'(x)\) a qual vai ter que ser primitivada de forma a obtermos \(f(x)\)
• Temos que saber primitivar o produto \(f(x)g'(x)\)

Aplicações típicas deste método:

Exemplo 1.

\(P\left(xe^x\right)=xe^x-P(e^x)=xe^x-e^x=(x-1)e^x,\\ \)

onde se fez a escolha \(f'(x)=e^x\), \(g(x)=x\). Reparem que se fizessem a escolha \(f'(x)=x\), \(g(x)=e^x\), obteriam \(P\left(xe^x\right)=\frac{x^2}{2}e^x-P(\frac{x^2}{2}e^x),\) a qual, sendo uma expressão verdadeira nada adianta, contudo, relativamente ao cálculo da primitiva. A escolha correcta era óbvia neste caso, mas não o é noutros, onde a prática em resolver exercícios é um factor determinante. Pode constatar este facto através dos exemplos que serão dados nesta aula.

Exemplo 2.

\(P\left(x\cos x\right)=x\operatorname{sen}x-P(\operatorname{sen}x)=x\operatorname{sen}x+\cos x \)

onde se fez a escolha \(f'(x)=\cos x\), \(g(x)=x\).

Exemplo 3.

\(P\left(x\operatorname{sen} x\right)=-x\cos x+P(\cos x)=-x\cos x+\operatorname{sen} x \)

onde se fez a escolha \(f'(x)=\operatorname{sen}x\), \(g(x)=x\). (Atenção aos sinais!)

• Se procedermos como nos 3 exemplos anteriores num caso \(g(x)=x^n\) a primitiva que vamos obter por este método envolve \(g'(x)=nx^{n-1}\) e, portanto, baixámos a ordem da potência de uma unidade. O resultado final pode ser obtido por aplicação sucessiva desta regra:

Exemplo 4.

\(\begin{aligned}P\left(x^3\operatorname{sen} x\right)&=-x^3\cos x+3P(x^2\cos x)\\&=-x^3\cos x+ 3\left[x^2\operatorname{sen}x-2P(x\operatorname{sen}x)\right]\\ &= -x^3\cos x+3x^2\operatorname{sen}x-6\left[-x\cos x+P(\cos x)\right]\\&= -x^3\cos x+3x^2\operatorname{sen}x+6x\cos x-6\operatorname{sen}x\end{aligned}\)

• As funções \(f', g\) muitas vezes não estão logo expliícitas: vejam no exemplo seguinte:

Exemplo 5.

\(P(x^3e^{x^2})=\; ?\)

Se escolhermos \(f'(x)=x^3\) e \(g(x)=e^{x^2}\) vejam que \(f(x)g'(x)\) fica ainda mais complicada: temos que primitivar \(x^5e^{x^2}\) e não adiantámos nada \(\dots\).
Por outro lado, está fora de questão a escolha \(f'(x)=e^{x^2}\), \(g(x)=x^3\) uma vez que, nesse caso, não podemos determinar \(f(x)\) explicitamente.
Então, a escolha que temos que fazer é \(f'(x)=xe^{x^2}\) e \(g(x)=x^2\). Como \(P(xe^{x^2})=\frac{e^{x^2}}{2}\) (primitiva quase-imediata), temos:

\(\displaystyle P(x^3e^{x^2})=P\left(x^2(xe^{x^2})\right) =\frac{1}{2}x^2e^{x^2}-P\left(2x.\frac{e^{x^2}}{2}\right)=\frac{1}{2}x^2e^{x^2}-\frac{1}{2}e^{x^2}=\frac{1}{2}(x^2-1)e^{x^2}\)

• Uma situação frequente é quando \(g(x)=\ln x\) ou \(g(x)=\operatorname{arctg}x.\) Repare que, em ambos os casos, \(g'(x)\) é uma função racional (quociente de polinómios):

Exemplo 6.

\(\displaystyle P(x^3\ln x)=\frac{1}{4}x^4\ln x-P\left(\frac{x^4}{4}.\frac{1}{x}\right) =\frac{1}{4}x^4\ln x-\frac{1}{4}P(x^3)=\frac{1}{4}x^4\ln x-\frac{1}{16}x^4=\frac{x^4}{16}(4\ln x-1)\)

Exemplo 7.

\(\displaystyle P(x\operatorname{arctg}x)=\frac{x^2}{2}\operatorname{arctg}x-P\left(\dfrac{x^2}{2}\dfrac{1}{1+x^2}\right) =\frac{x^2}{2}\operatorname{arctg}x-\frac{1}{2}P\left(1-\dfrac{1}{1+x^2}\right) =\frac{x^2}{2}\operatorname{arctg}x-\frac{1}{2}(x-\operatorname{arctg}x)\)

Reparem que em cima usámos a seguinte igualdade (já usada num exemplo da aula anterior) a qual será usada com frequência no cálculo de primitivas: \[\frac{u}{1+u}=1-\frac{1}{1+u}.\]

• Uma outra situação frequente é quando a expressão a primitivar é apenas uma função elementar (ou composta delas) e, nesse caso, usamos \(f'(x)=1\). Ocorre principalmente associada ao logaritmo ou às trigonométricas inversas:

Exemplo 8.

Exemplo 9.

Exemplo 10.

• Em situações que envolvem funções trigonométricas pode acontecer que a aplicação sucessiva do método de primitivação por partes não conduza directamente ao resultado final. No entanto, em casos desses pode ocorrer aparecer de novo a primitiva que se pretende calcular de forma a poder explicitá-la resolvendo uma equação simples. Este procedimento designa-se por primitivação cíclica. Vejamos dois exemplos:

Exemplo 11.

\(\begin{aligned} P(e^x\cos x)&=e^x\operatorname{sen}x-P(e^x\operatorname{sen}x)\qquad\qquad\qquad\quad\;\;(\text{ fazendo }g(x)=e^x,\; f'(x)=\cos x)\\ &=e^x\operatorname{sen}x-\left[-e^x\cos x+P(e^x\cos x)\right]\qquad(\text{ fazendo }g(x)=e^x,\; f'(x)=\operatorname{sen} x)\\ &=e^x\operatorname{sen}x+e^x\cos x-P(e^x\cos x) \end{aligned}\)

Reparem que neste ponto vemos que não vale a pena fazer outra primitivação por partes porque vemos que, de cada vez que fizermos, vai sempre aparecer \(P(e^x\operatorname{sen }x)\) ou \(P(e^x\cos x)\). No entanto, vejam que a expressão anterior equivale a

\(2P(e^x\cos x)=e^x\operatorname{sen}x+e^x\cos x\qquad\qquad\) e, logo, \(\displaystyle\qquad\qquad P(e^x\cos x)=\frac{e^x}{2}(\operatorname{sen}x+\cos x).\)

Exemplo 12.

\(\begin{aligned} P\left(\cos(\ln x)\right)&=P\left(1\cdot\cos(\ln x)\right)=x\cos(\ln x)+P\left(x\cdot\frac{1}{x}\operatorname{sen} (\ln x)\right) =x\cos(\ln x)+P\left(1\cdot\operatorname{sen} (\ln x)\right)\\ &=x\cos(\ln x)+\left[x\operatorname{sen} (\ln x)-P\left(x\cdot\frac{1}{x}\cos (\ln x)\right)\right] =x\cos(\ln x)+x\operatorname{sen} (\ln x)-P\left(\cos (\ln x)\right) \end{aligned}\)

Como no exemplo anterior temos

\(2P\left(\cos(\ln x)\right)=x\cos(\ln x)+x\operatorname{sen} (\ln x)\qquad\qquad\) e, logo, \(\displaystyle\qquad\qquad P\left(\cos(\ln x)\right)=\frac{x}{2}\left(\cos(\ln x)+\operatorname{sen} (\ln x)\right).\)

• Da aplicação das técnicas exemplificadas em cima, por vezes não resulta uma primitiva imediata ou quase-imediata como nos exemplos 1-10, mas sim uma função racional. De qualquer modo, o problema fica resolvido porque, como veremos na próxima aula, existe um método que permite primitivar qualquer função racional. Por exemplo,

Exemplo 12.

\(\displaystyle P\left(\frac{1}{x^2}\operatorname{arctg}x\right) =-\frac{1}{x}\operatorname{arctg}x+P\left(\frac{1}{x(1+x^2)}\right)\)

Na próxima aula vamos estudar um método que permite calcular a última primitiva dado que ela é um função racional.

Resumindo:

O método de primitivação por partes serve para transformar a primitiva pedida numa primitiva imediata ou quase-imediata ou na primitiva de uma função racional.