Aula teorica 25

Aula teórica 25

Primitivas.
Primitivação quase-imediata:
Primitivas tipo potência, exp, ln, sen, cos, arctg, arcsen, senh, cosh.

Material de estudo:

[AB] A. Bastos e A. Bravo, Cálculo Diferencial e Integral I. Texto de apoio às aulas, 2010., págs. 87 - 89.
[CF] J. Campos Ferreira. Introdução à Análise Matemática, Fundação Gulbenkian, 8a ed., 2005.

Observação: O texto [AB] tem, na parte da primitivação, uma abordagem um pouco diferente da deste curso: a primitivação surge depois de introduzido o conceito de integral. No final, os conteúdos serão os mesmos. No entanto, para efeitos de programação das aulas e orientação do estudo faz-se, nestes guias, uma apresentação completa da matéria das aulas teóricas. Estes textos poderão ser usados como base de estudo.

A mesma observação pode ser feita relativamente às aulas digitais do Prof. Miguel Abreu.

ATENÇÂO! A matéria de primitivação que se inicia requer bastante prática por parte dos alunos. A identificação das primitivas nos vários tipos que se verão nesta aula só se aprende através do trabalho individual de cada um. Leiam os exemplos, compreendam-nos todos e, em seguida resolva os exercícios da aulas práticas. Veja que a dificuldade está na identificação do tipo de primitiva quando não é dito qual é esse tipo.

Primitivas

Nesta aula principiamos os métodos de primitivação. A ideia é, usando o conhecimento das primitivas imediatas dadas no final da aula anterior, transformar as expressões noutras que sabemos de antemão como primitivar.

Primitivação quase-imediata

Começe por relembrar a fórmula da derivação da função composta: \[\left(F(u(x))\right)'=F'(u(x))u'(x).\] Se \(F(x)=Pf(x)\), temos \(F'=f\) e a fórmula anterior escreve-se \[P\left(f(u(x))u'(x)\right)=F(u(x)),\quad\text{ou, na outra notação, }\quad \int f(u(x))u'(x)\,dx=F(u(x)).\] Numa forma mais sucinta, sem nos esquecermos que \(u\) é uma função de \(x\), podemos escrever: \[P(f(u)u')=F(u).\] Portanto, sabendo primitivar \(f\) sabemos como primitivar \(f(u)u'\). A primitivação baseada nesta fórmula aplicada às primitivas imediatas dadas no final da aula anterior designa-se por primitivação quase-imediata. Vamos classificar estas primtivas de acordo com a função \(F\):

\(P(u^au')=\dfrac{u^{a+1}}{a+1}\qquad\) para \(a\not=-1\qquad\) tipo potência
\(P\left(\dfrac{u'}{u}\right)=\ln |u|\qquad\quad\;\quad\;\;\) tipo logaritmo
\(P(e^uu')=e^u\qquad\qquad\quad\;\;\,\;\;\) tipo exponencial
\(P(u'\cos u)=\operatorname{sen}u\qquad\quad\;\;\,\) tipo seno
\(P(u'\operatorname{sen}u)=-\cos u\qquad\;\,\;\,\) tipo cosseno
\(P\left(\dfrac{u'}{1+u^2}\right)=\operatorname{arctg}u\qquad\,\) tipo arcotangente
\(P\left(\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}\right)=\operatorname{arcsen}u\quad\) tipo arcoseno
\(P(u'\cosh u)=\operatorname{senh}u\qquad\quad\) tipo seno hiperbólico
\(P(u'\operatorname{senh}u)=\cosh u\qquad\quad\) tipo cosseno hiperbólico

Exemplos

Não vamos seguir a ordem em cima. Ao invés vamos começar pelos tipos mais fáceis de identificar:

Em cada caso pede-se o cálculo de uma primitiva.

Tipo exponencial

\(P(e^{5x})=\frac{1}{5}P((5x)'e^{5x})=\frac{1}{5}e^{5x}\)
\(P(x^4e^{x^5})=\frac{1}{5}P((x^5)'e^{x^5})=\frac{1}{5}e^{x^5}\)
\(\displaystyle P\left(\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\right)=2P\left(\left(\sqrt{x}\right)'e^{\sqrt{x}}\right)=2e^{\sqrt{x}}\)
\(P\left(e^{\cos x}\operatorname{sen}x\right)=-P(e^{\cos x}(\cos x)')=-e^{\cos x}\)
\(\displaystyle P\left(\frac{e^{\operatorname{arctg} x}}{1+x^2}\right)=P\left(e^{\operatorname{arctg} x}(\operatorname{arctg} x)'\right) =e^{\operatorname{arctg} x}\)
\(\displaystyle P\left(\frac{e^{\operatorname{arcsen} x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)=P\left(e^{\operatorname{arcsen} x}(\operatorname{arcsen} x)'\right) =e^{\operatorname{arcsen} x}\)

Observação importante: repare que enquanto, por exemplo, \(\displaystyle P(2xe^{x^2})=e^{x^2}\) é uma primitiva quase-imediata, \(P(e^{x^2})\) é uma primitiva impossível de calcular em termos das funções elementares que conheçem. Isto reflecte uma diferença importante entre a derivação e a primitivação: muitas vezes é muito mais fácil de primitivar expressões aparentemente mais complicadas. Outro exemplo: \(\displaystyle P\left(\frac{e^{\operatorname{arctg} x}}{1+x^2}\right)\) é quase-imediata (veja em cima), mas \(\displaystyle P\left(e^{\operatorname{arctg} x}\right)\) é muito difícil de calcular.

Tipos seno e cosseno

\(P(\cos 5x)=\frac{1}{5}P\left((5x)'\cos 5x\right)=\frac{1}{5}\operatorname{sen}5x\)
\(P\left(x^3\operatorname{sen}(x^4)\right)= \frac{1}{4}P\left((x^4)'\operatorname{sen} (x^4)\right)=-\frac{1}{4}\cos (x^4)\)
\(P\left(e^x\operatorname{sen}(1+e^x)\right)= P\left((1+e^x)'\operatorname{sen} (1+e^x)\right)=-\cos (1+e^x)\)
\(\displaystyle P\left(\frac{\cos\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\right)=2P\left(\left(\sqrt{x}\right)'\cos\sqrt{x}\right)=2\operatorname{sen}\sqrt{x}\)
\(\displaystyle P\left(\frac{\cos (\ln x)}{x}\right)=P\left((\ln x)'\cos(\ln x)\right)=\operatorname{sen} (\ln x)\)
\(\displaystyle P\left(\frac{\operatorname{sen} (1+\operatorname{arctg}x)}{1+x^2}\right)= P\left((1+\operatorname{arctg}x)'\operatorname{sen}(1+\operatorname{arctg}x)\right)=-\cos (1+\operatorname{arctg}x)\)

Tipo logaritmo

\(\displaystyle P\left(\frac{2x+\operatorname{sen}x}{x^2-\cos x}\right) =P\left(\frac{(x^2-\cos x)'}{x^2-\cos x}\right)=\ln|x^2-\cos x|\)
\(\displaystyle P\left(\operatorname{tg} x\right)=P\left(\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}\right)= -P\left(\frac{(\cos x)'}{\cos x}\right)=-\ln|\cos x|\)
\(\displaystyle P\left(\frac{e^x}{1+e^x}\right)=P\left(\frac{(1+e^x)'}{1+e^x}\right)= \ln (1+e^x)\qquad\) (aqui é irrelevante considerar o módulo porque \(1+e^x\gt 0\))
\(\displaystyle P\left(\frac{1}{x\ln x}\right)= P\left(\frac{\frac{1}{x}}{\ln x}\right)=P\left(\frac{(\ln x)'}{\ln x}\right)=\ln|\ln x|\)
\(\displaystyle P\left(\frac{1}{(1+x^2)\operatorname{arctg} x}\right)= P\left(\frac{\frac{1}{1+x^2}}{\operatorname{arctg} x}\right)= P\left(\frac{(\operatorname{arctg} x)'}{\operatorname{arctg} x}\right)=\ln|\operatorname{arctg} x|\)
\(\displaystyle P\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}\operatorname{arcsen} x}\right)= P\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\operatorname{arcsen} x}\right)= P\left(\frac{(\operatorname{arcsen} x)'}{\operatorname{arcsen} x}\right)=\ln|\operatorname{arcsen} x |\)

Observação importante: Outra diferença entre derivação e primitivação é que os cálculos das primitivas de expressões muito parecidas têm muitas vezes que ser abordados por métodos diferentes. Veja os exemplos \(\;\dfrac{1}{1+x^2},\;\) \(\dfrac{x}{1+x^2},\;\) e \(\;\dfrac{x^2}{1+x^2}\): A primeira é imediata: \(\operatorname{arctg}x\). A segunda é tipo logaritmo e dá \(\frac{1}{2}\ln(1+x^2)\). A terceira é calculada através de uma técnica que iremos explorar na primitivação de funções racionais: \[P\left(\frac{x^2}{1+x^2}\right)=P\left(\frac{1+x^2}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}\right) =P(1)-P\left(\frac{1}{1+x^2}\right)=x-\operatorname{arctg}x\]

Tipo potência

Apesar da sua aparência elementar é contudo muitas vezes dos tipos de primitivas mais difíceis de identificar.

\(\displaystyle P\left(\sqrt{1+6x}\right)=\frac{1}{6}P\left((1+6x)'(1+6x)^{1/2}\right) =\frac{1}{6}\frac{(1+6x)^{3/2}}{3/2}=\frac{(1+6x)^{3/2}}{9}\)
\(\displaystyle P\left(x(1+x^2)^{10}\right)=\frac{1}{2}P\left((1+x^2)'(1+x^2)^{10}\right)=\frac{(1+x^2)^{11}}{22}\)
\(\displaystyle P\left(\frac{(\ln x)^2}{x}\right)=P\left((\ln x)'(\ln x)^2\right)=\frac{(\ln x)^3}{3}\)
\(\displaystyle P(\cos x\operatorname{sen}x )=-P((\cos x)'\cos x)=-\frac{\cos^2 x}{2}\)
\(\displaystyle P\left(\frac{\operatorname{sen}x}{\sqrt{\cos x}} \right)=-P((\cos x)'(\cos x)^{-1/2})=-\frac{(\cos x)^{1/2}}{1/2} =-2\sqrt{\cos x}\)
\(\displaystyle P\left(\frac{\operatorname{arctg}x}{1+x^2} \right)= P((\operatorname{arctg}x)'\operatorname{arctg}x)=\frac{\operatorname{arctg}^2x}{2}\)
\(\displaystyle P\left(\frac{\operatorname{arctg}^2x}{1+x^2} \right)= P((\operatorname{arctg}x)'\operatorname{arctg}^2x)=\frac{\operatorname{arctg}^3x}{3}\)

Tipo arcotangente

\(\displaystyle P\left(\frac{e^x}{1+e^{2x}}\right)=P\left(\frac{(e^x)'}{1+(e^x)^2}\right) =\operatorname{arctg}(e^x)\)
\(\displaystyle P\left(\frac{x}{1+x^4}\right)=\frac{1}{2}P\left(\frac{(x^2)'}{1+(x^2)^2}\right) =\frac{1}{2}\operatorname{arctg}(x^2)\)
\(\displaystyle P\left(\frac{x^2}{1+x^6}\right)=\frac{1}{3}P\left(\frac{(x^3)'}{1+(x^3)^2}\right) =\frac{1}{3}\operatorname{arctg}(x^3)\)
\(\displaystyle P\left(\frac{1}{1+3x^2}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}P\left(\frac{(\sqrt{3}x)'}{1+(\sqrt{3}x)^2}\right) =\frac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{arctg}(\sqrt{3}x)\)
\(\displaystyle P\left(\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\right)=2P\left(\frac{(\sqrt{x})'}{1+(\sqrt{x})^2}\right) =\operatorname{arctg}(\sqrt{x})\)
\(\displaystyle P\left(\frac{1}{x(1+(\ln x)^2)}\right)=P\left(\frac{(\ln)'}{1+(\ln x)^2}\right) =\operatorname{arctg}(\ln x)\)

Tipo arcoseno

\(\displaystyle P\left(\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}\right)=\frac{1}{2}P\left(\frac{(2x)'}{\sqrt{1-(2x)^2}}\right)= \frac{1}{2}\operatorname{arcsen}(2x)\)
\(\displaystyle P\left(\frac{x}{x\sqrt{1-x^4}}\right)=\frac{1}{2}P\left(\frac{(x^2)'}{\sqrt{1-(x^2)^2}}\right)= \operatorname{arcsen}(x^2)\)
\(\displaystyle P\left(\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}\right)=P\left(\frac{(e^x)'}{\sqrt{1-(e^{x})^2}}\right)= \operatorname{arcsen}(e^x)\)
\(\displaystyle P\left(\frac{1}{x\sqrt{1-(\ln x)^2}}\right)=P\left(\frac{(\ln x)'}{\sqrt{1-(\ln x)^2}}\right)= \operatorname{arcsen}(\ln x)\)

Tipos seno e cosseno hiperbólicos

\(\displaystyle P\left(\frac{\cosh (\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\right)=2P\left((\sqrt{x})'\cosh (\sqrt{x})\right)=2\operatorname{senh}(\sqrt{x})\)
\(\displaystyle P\left(\frac{\operatorname{senh} (\ln x)}{x}\right)=P\left((\ln x)'\operatorname{senh}(\ln x)\right) =\cosh(\ln x)\)