Regra de Cauchy (conclusão).
Levantamento de indeterminações dos tipos \(\quad 0^0,\quad \infty^0,\quad 1^\infty.\)
Aplicação da regra de Cauchy ao cálculo da derivada num ponto.
Material de estudo:
Observação importante: Prosseguimos o estudo baseado no texto [AB]. Recomenda-se que, para acompanhar o estudo desta aula, os alunos estudem os exercícios resolvidos 12-16 da lista [RLC].
Com esta aula termina a matéria do 1º teste. Sugere-se que, como estudo de revisão os alunos estudem os exercícios resolvidos do texto [AB] referidos em cima. É importante que os alunos nesta fase do estudo, realizem, pelo menos, um dos primeiros testes dos últimos 2 anos o que servirá como um teste de autodiagnóstico.
Relembremos o conceito de indeterminação. Mesmo sem conhecer as funções \(f\) e \(g\) mas se soubermos \(\;\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=a\;\) e \(\;\displaystyle\lim_{x\to c}g(x)=b\;\) sabemos calcular \(\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)^{g(x)}=a^b\), excepto nos casos \(\quad 0^0,\quad \infty^0,\quad 1^\infty.\)
Nestes casos, para sabermos o que se passa com aquele limite temos de conhecer as funções, não basta saber os seus limites em \(c\). É isto o que se entende por casos indeterminados ou indeterminações: o termo indeterminação não diz respeito ao que se passa num caso concreto (aquilo que se passa com o limite em cada caso é bem determinado) mas sim ao conjunto de todos os pares de funções que têm os mesmos limites.
Exemplo 1. \(\;\displaystyle\lim_{x\to 0}(1+2x)^x=1^0=1\;\). Trata-se de um caso em que o simples conhecimento dos limites \(\;\displaystyle\lim_{x\to 0}(1+2x)=1\;\) e \(\;\displaystyle\lim_{x\to 0}x=0\;\) chega para fazer o cálculo do limite resultante. Portanto, não é uma indeterminação.
Exemplo 2. \(\;\displaystyle\lim_{x\to 0^+}(1+2x)^{\frac{1}{x}}\;\). Trata-se de um caso em que o simples conhecimento dos limites \(\;\displaystyle\lim_{x\to 0^+}(1+2x)=1\;\) e \(\;\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty\;\) não chega para saber o que se passa com o limite resultante, nem sequer se ele existe: é uma indeterminação, mas apenas no que diz respeito ao nosso estado de conhecimento. Vamos ver que facilmente deixa de ser uma indeterminação usando a regra de Cauchy.
Relembremos a seguinte expressão: \[f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}.\] Então, no exemplo 2, a indeterminação \(1^\infty\) é convertida numa exponencial com uma indeterminação tipo \(\frac{0}{0}\) à qual se aplica a regra de Cauchy: \[\lim_{x\to 0^+}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0^+}e^{\frac{\ln (1+2x)}{x} }=e^{\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln (1+2x)}{x} }\] Como, \[\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln (1+2x)}{x}\stackrel{RC}{=}\lim_{x\to 0^+}\frac{(\ln (1+2x))'}{(x)'}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{2}{1+2x}}{1}=2,\] concluimos que \[\lim_{x\to 0^+}(1+2x)^{\frac{1}{x}}=e^2.\]
Exemplo 3. \(\;\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x^x\;\) (indeterminação \(0^0\)) \[\lim_{x\to 0^+}x^x=e^{\lim_{x\to 0^+}x\ln x }\] Como, \[\lim_{x\to 0^+}x\ln x =\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}\stackrel{RC}{=}\lim_{x\to 0^+}\frac{(\ln x)'}{\left(\frac{1}{x}\right)'} =\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=-\lim_{x\to 0^+}x=0,\] onde se aplicou a regra de Cauchy a uma indeterminação tipo \(\frac{\infty}{\infty}\), obtemos, \[\lim_{x\to 0^+}x^x=e^0=1.\]
Exemplo 4. \(\;\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x^{\frac{1}{x}}\;\) (indeterminação \(\infty^0\)) \[\lim_{x\to +\infty}x^{\frac{1}{x}}=e^{\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x} }\] Como, \[\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}\stackrel{RC}{=}\lim_{x\to +\infty}\frac{(\ln x)'}{(x)'} =\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}=0,\] onde se aplicou a regra de Cauchy a uma indeterminação tipo \(\frac{\infty}{\infty}\), obtemos, \[\lim_{x\to +\infty}x^{\frac{1}{x}}=e^0=1.\]
Exemplo 5. \(\;\displaystyle\lim_{x\to 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}\;\) (indeterminação \(1^\infty\)) \[\lim_{x\to 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}=e^{\lim_{x\to 0}\frac{\ln \cos x}{x^2} }\] Como, \[\lim_{x\to 0}\frac{\ln \cos x}{x^2} \stackrel{RC}{=}\lim_{x\to 0}\frac{(\ln \cos x)'}{(x^2)'} =\lim_{x\to 0}\frac{-\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}}{2x}=-\lim_{x\to 0}\frac{1}{2\cos x}=-\frac{1}{2},\] onde se aplicou a regra de Cauchy a uma indeterminação tipo \(\frac{0}{0}\), e usou-se um dos limites notáveis, obtemos, \[\lim_{x\to 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}=e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{e}}.\]
Exemplo 6. \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x^{\frac{1}{x}}=0^{+\infty}=0\). NÃO É INDETERMINAÇÃO! A regra de Cauchy não se pode aplicar, mas o resultado é imediato.
Aplicando este resultado ao exemplo 4: \[\lim \sqrt[n]{n}=\lim n^{\frac{1}{n}}=1.\] Outro exemplo:
Exemplo 7. Calcular, se existir, o limite da sucessão \(\displaystyle u_n=\left(\frac{2}{\pi}\operatorname{arctg}n\right)^n.\quad\) (indeterminação \(1^\infty\))
Calculemos \[\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{2}{\pi}\operatorname{arctg}x\right)^x=e^{\lim_{x\to +\infty}x\ln\left(\frac{2}{\pi}\operatorname{arctg}x\right)}.\] Como, \[\lim_{x\to +\infty}x\ln\left(\frac{2}{\pi}\operatorname{arctg}x\right)= \lim_{x\to +\infty}\frac{\ln\left(\frac{2}{\pi}\operatorname{arctg}x\right)}{\frac{1}{x}}\stackrel{RC}{=} \lim_{x\to +\infty}\frac{\left(\ln\left(\frac{2}{\pi}\operatorname{arctg}x\right)\right)'}{\left(\frac{1}{x}\right)'}= \lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{\frac{1}{1+x^2}}{\operatorname{arctg}x}}{-\frac{1}{x^2}} \] \[=-\lim_{x\to +\infty}\frac{x^2}{(1+x^2)\operatorname{arctg}x}=-\frac{2}{\pi}\] onde a regra de Cauchy foi usada para a indeterminação \(\frac{0}{0}\), resulta, \[\lim_{x\to +\infty}x\ln\left(\frac{2}{\pi}\operatorname{arctg}x\right)=e^{-2/\pi}.\] Conclusão, \[\lim\left(\frac{2}{\pi}\operatorname{arctg}n\right)^n=e^{-2/\pi}.\]
Começemos por clarificar um ponto muito importante. Estudámos atrás (aula teórica 17) a definição de derivada de \(f\) num ponto \(a\): \[f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\] quando este limite existe. Outro conceito é o limite da função derivada em \(a\): \[\lim_{x\to a}f'(x).\]
A questão que se põe é: serão a mesma coisa? A resposta em geral é NÃO! Para se convencerem deste facto, considerem o seguinte
Contraexemplo: Seja \[f(x)=\begin{cases} x^2\cos\frac{1}{x},&\text{ se } x\not=0\\ 0,&\text{ se } x=0 \end{cases}\] Para começar constate que \(f\) é contínua em \(\mathbb{R}\).
Em seguida veja que, em \(\mathbb{R}\setminus \{0\}\), \(f\) é diferenciável com derivada \[f'(x)=2x\cos\frac{1}{x}-\operatorname{sen}\frac{1}{x}.\] Resta saber o que é que se passa em \(x=0\). Neste caso, o teorema que enuncia as regras de derivação não é aplicável devido ao denominador nulo no ponto \(0.\) Temos então que recorrer à definição de derivada: \[f'(0)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2\cos\frac{1}{x}-0}{x-0}=\lim_{x\to 0}x\cos\frac{1}{x}=0,\qquad\text{(por enquadramento)}\] Conclusão: \(f\) é diferenciável em \(\mathbb{R}\) com função derivada \[f'(x)=\begin{cases} 2x\cos\frac{1}{x}-\operatorname{sen}\frac{1}{x},&\text{ se } x\not=0\\ 0,&\text{ se } x=0 \end{cases}\] Vejamos agora o que é que se passa com \(\displaystyle\lim_{x\to 0}f'(x)\). Veja que este limite não existe recordando o argumento baseado na definição à Heine: escolhendo, por exemplo, as duas sucessões \(x_n=\frac{1}{2n\pi}\) e \(y_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}\), Temos \[\lim x_n=\lim y_n=0\qquad\text{ mas }\qquad \lim f'(x_n)=0\quad\not = \quad \lim f'(y_n)=-1.\] Logo, em geral, \(f'(a)\) e \(\displaystyle\lim_{x\to a}f'(x)\) não têm que coincidir.
Observação. Repare que dizer que \(\displaystyle\lim_{x\to a}f'(x)=f'(a)\) é o mesmo que afirmar que a função derivada \(f'\) é contínua em \(a\) o que nem sempre acontece.
Definição. Uma função \(f\) diferenciável em \(D_f\) tal que a função derivada \(f´\) é contínua em \(D_f\) diz-se de classe \(C^1\).
A função \(f\) do contraexemplo atrás é um exemplo de uma função diferenciável mas não de classe \(C^1\).
Repare que no contraexemplo atrás verificámos também que para a derivada lateral direita \(f'_d(0)=0\) enquanto que o limite lateral direito \(f'(0+)\) não existe. Importa, portanto, não confundir os conceitos. O mesmo se pode dizer de \(f'_e(0)\) e \(f'(0-)\). No entanto a regra de Cauchy, nos casos em que é aplicável, permite-nos calcular a derivada lateral no ponto como o limite lateral da derivada. Terminamos com alguns exemplos nesse sentido:
Exemplo 8. \(\qquad f(x)=\begin{cases}\ln(1+x^2),&\text{ se }-1\lt x\leqslant 0 \\ x^2e^{1-x^2},&\text{ se }x\gt 0 \end{cases}\)
Veja que é contínua em \(\mathbb{R}\) e diferenciável em cada ponto \(x\not=0\). Vejamos o ponto \(x=0\): \[f'_d(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}\frac{x^2e^{1-x^2}-\ln 1}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}xe^{1-x^2}=0,\] por aplicação directa da definição de derivada lateral direita. Para a derivada lateral esquerda, temos, \[\begin{align}f'_e(0)&=\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^-}\frac{\ln(1+x^2)-\ln 1}{x-0}\\&=\lim_{x\to 0^-}\frac{\ln(1+x^2)}{x} \stackrel{RC}{=}\lim_{x\to 0^-}\frac{\left(\ln(1+x^2)\right)'}{(x)'}=\lim_{x\to 0^-}\frac{\frac{2x}{1+x^2}}{1}=0,\end{align}\] onde a regra de Cauchy foi aplicada para levantar a indeterminação \(\frac{0}{0}\). Repare que as condições de aplicação da regra de Cauchy são satisfeitas, neste caso, se \(f(a-)=f(a)\), ou seja, se \(f\) é contínua à esquerda e se \(f\) é diferenciável num intervalo \(]b,a[\), o que é também o caso. Então, como existe existe \(f'(0-)\) vemos que este limite coincide com \(f'_e(0)\).
Conclusão: \(f'_e(0)=f'_d(0)=0\,\quad\Rightarrow\quad f'(0)=0\) e, logo, \(f\) é diferenciável em \(\mathbb{R}\).
Exemplo 9. \(\qquad f(x)=\begin{cases}\operatorname{arctg}\frac{1}{x^2},&\text{ se }x\not= 0 \\ \frac{\pi}{2},&\text{ se }x= 0 \end{cases}\)
Para \(x\not=0\), \[f'(x)=\frac{-\frac{2}{x^3}}{1+\left(\frac{1}{x^2}\right)^2}=-\frac{2x}{x^4+1}\] Como \(f\) é contínua em \(0\) (verifique!) e \(f'\) é diferenciável se \(x\not= 0\) temos, por aplicação da regra de Cauchy à indeterminação \(\frac{0}{0}\), \[f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{arctg}\frac{1}{x^2}-\frac{\pi}{2}}{x}\stackrel{RC}{=} \lim_{x\to 0}\frac{\left(\operatorname{arctg}\frac{1}{x^2}-\frac{\pi}{2}\right)'}{(x)'}=-\lim_{x\to 0}\frac{2x}{x^4+1}=0\] Logo, \(f\) é diferenciável em \(\mathbb{R}\).