Derivada da função composta (conclusão).
Derivada da função inversa. Derivadas de inversas de funções elementares.
Extremos relativos
Material de estudo:
Observação importante: Prosseguimos o estudo baseado no texto [AB]. Recomenda-se que os alunos estudem os exercícios resolvidos da lista [Di]. Também lhes poderá ser útili assistir às aulas em video 12 e 13 em [MA].
Por ser um assunto fundamental, direi mesmo mais, um assunto-chave para a resolução de grande parte de exercícios de cálculo de derivadas e importante, em geral, para toda a matéria seguinte, regressamos, no início desta aula, ao Teorema da derivada da função composta e suas aplicações.
Vimos a regra da função composta: \[(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x),\] (quando as condições do teorema são aplicáveis). Vimos também que, escrevendo \(g(x)=u\), recuperamos as regras de derivação bem conhecidas desde o ensino secundário do tipo, \[(f(u))'=f'(u)u',\] tais como, \((\cos u)'=(-\operatorname{sen}u) u'\;,\quad\) \((e^u)'=e^uu'\;,\quad\) \((\ln u)=\dfrac{u'}{u}\;,\quad\) etc.
EXEMPLOS:
Exemplos 1. \(\displaystyle\left(e^{1+\operatorname{tg}x}\right)'=\frac{e^{1+\operatorname{tx}x}}{\cos^2 x}\;,\qquad \left(e^{\frac{1}{x}}\right)'=-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}.\)
Exemplos 2. \(\displaystyle\left(a^x\right)'=\left(e^{x\ln a}\right)'=(\ln a)e^{x\ln a}=(\ln a)a^x\;,\quad a>0\;,\qquad \left(\log_a x\right)'=\left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)'=\frac{1}{(\ln a)x}\,.\)
Exemplos 3. \(\displaystyle\left(\operatorname{sen}(x^2)\right)'=2x\cos(x^2)\;,\qquad\left(\cos\frac{1}{x^2}\right)'=\frac{2}{x^3}\operatorname{sen}\frac{1}{x^2}\;.\)
Exemplos 4. \(\displaystyle\left(\operatorname{senh}(\ln x)\right)'=\cosh(\ln x)\frac{1}{x}\;,\qquad \left(\cosh(\operatorname{sen}^2 x)\right)'=\operatorname{senh}(\operatorname{sen}^2x)2\operatorname{sen}x\cos x.\)
Exemplos 5. Ilustrações da derivada da composta da potência \(x^a\) com uma função \(u(x)\), \[\left(u^a\right)'=au^{a-1}u'.\]
Por exemplo:\[\left(\operatorname{sen}^3(\sqrt{x})\right)'=3\cos^2(\sqrt{x})\left(\sqrt{x}\right)'=\frac{3\cos^2\left(\sqrt{x}\right)}{2\sqrt{x}},\] \[\left(\operatorname{tg}^4(\cos x)\right)'=4\operatorname{tg}^3(\cos x)\left(\operatorname{tg}(\cos x)\right)'= 4\operatorname{tg}^3(\cos x)\left(1+\operatorname{tg}^2(\cos x)\right)(-\operatorname{sen}x),\] \[\left(\sqrt{1+\ln^2x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{1+\ln^2x}}(1+\ln^2x)'=\frac{1}{2\sqrt{1+\ln^2x}}\frac{2\ln x}{x}=\frac{\ln x}{x\sqrt{1+\ln^2x}}.\]
Exemplos 6. Casos \(\left(f(x)^{g(x)}\right)'\): \[(x^x)'=\left(e^{x\ln x}\right)'=e^{x\ln x}(x\ln x)'=x^x(\ln x+1)\,.\] \[\left((\sqrt{x})^{x^5}\right)'=\left(e^{x^5\ln \sqrt{x}}\right)'=e^{x^5\ln \sqrt{x}}\left(x^5\ln \sqrt{x}\right)'= (\sqrt{x})^{x^5}\frac{1}{2}(x^5\ln x)'=(\sqrt{x})^{x^5}\frac{5x^4\ln x+x^4}{2}\,.\]
Já vimos que \[f\;\text{ é injectiva e contínua num intervalo } I\quad\Rightarrow\quad f^{-1}\;\text{ é contínua no intervalo } J=f(I).\]
Podemos enunciar um resultado correspodente para a diferenciabilidade dando, simultaneamente, uma expressão ("regra") para o cálculo da derivada da função inversa. Trata-se do teorema 3.7.15, o qual afirma: \[\left.\begin{aligned}&f\;\text{ é injectiva, contínua num intervalo aberto }I, \\ &\text{e diferenciável em } c\in I\;,\;\text{com }f'(c)\not=0\end{aligned}\right\} \quad\Rightarrow\quad f^{-1}\;\text{ é diferenciável em } d=f(c).\] O teorema proporciona ainda a fórmula para a derivada da função inversa, nas condições anteriores: \[\left(f^{-1}\right)'(d)=\frac{1}{f'(c)},\] ou seja, \[\left(f^{-1}\right)'(d)=\frac{1}{f'(f^{-1}(d))}.\] Estude os exemplos 3.7.16, 3.7.17. Repare que, se \(f(x)\) satisfizer as condições do teorema em todos os pontos \(x\in I\), teremos:
Apliquemos este resultado ao cálculo de funções inversas de funções elementares:
Seja agora, \[y=f(x)=\cos x, \;\text{ com }\;D_f=\left[0,\pi\right]\,,\quad C_f=\left[-1,1\right].\] Então, \[x=f^{-1}(y)=\arccos y,\; \text{ com }\;D_{f^{-1}}=\left[-1,1\right],\quad C_{f^{-1}}=\left[0,\pi\right]\,.\] Assim, \(f\) satisfaz as hipóteses do teorema em todos os pontos do intervalo aberto \(I\) se tomarmos \(\displaystyle I=\left]0,\pi\right[\) e, portanto, \(\displaystyle J=\left]-1,1\right[\). Sendo assim, teremos para cada \(-1\lt y\lt 1,\) \[\left(\arccos y\right)'=\frac{1}{(\cos x)'}=\frac{1}{-\operatorname{sen} x}=-\frac{1}{\operatorname{sen}(\arccos y)} =-\frac{1}{\sqrt{1-y^2}},\] pela mesma razão apontada anteriormente (verifique!).
Seja agora, \[y=f(x)=\operatorname{tg}x, \;\text{ com }\;D_f=\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\,,\quad C_f=\mathbb{R}.\] Então, \[x=f^{-1}(y)=\operatorname{arctg} y,\; \text{ com }\;D_{f^{-1}}=\mathbb{R},\quad C_{f^{-1}}=\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\,.\] Assim, \(f\) satisfaz as hipóteses do teorema em todos os pontos do intervalo aberto \(I\) se tomarmos \(\displaystyle I=\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\) e, portanto, \(\displaystyle J=\mathbb{R}\). Sendo assim, teremos para cada qualquer \(y\in\mathbb{R},\) \[\left(\operatorname{arctg}y\right)'=\frac{1}{(\operatorname{tg}x)'}=\frac{1}{1+\operatorname{tg}^2x}=\frac{1}{1+y^2}.\]
Seja, \[y=f(x)=\operatorname{senh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}, \;\text{ com }\;D_f=\mathbb{R}\,,\quad C_f=\mathbb{R}.\] Então, \[x=f^{-1}(y)=\operatorname{argsh} y,\; \text{ com }\;D_{f^{-1}}=\mathbb{R},\quad C_{f^{-1}}=\mathbb{R}\,.\] Assim, \(f\) satisfaz as hipóteses do teorema em todos os pontos do intervalo aberto \(\displaystyle I=\mathbb{R}\) e, portanto, \(\displaystyle J=\mathbb{R}\). Sendo assim, teremos para qualquer \(y\in\mathbb{R},\) \[\left(\operatorname{argsh}y\right)'=\frac{1}{(\operatorname{senh}x)'}=\frac{1}{\cosh x}=\frac{1}{\cosh(\operatorname{argsh}y)} =\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}.\] Deduza a última igualdade, através de um procedimento análogo ao que usou no caso das funções circulares seno e cosseno mas agora usando \(\cosh^2x-\operatorname{senh}^2x=1\).
Para o cosseno hiperbólico, temos \[\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}, \;\text{ com }\;D_{\cosh}=\mathbb{R}\,,\quad C_{\cosh}=\left[1,+\infty\right[.\] Repare que é uma função par, estritamente crescente em \(\mathbb{R}^+\) (veremos mais tarde), \(f(0)=1\), \(\;\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.\) Tal como fizemos para o cosseno, para inverter temos que considerar uma restrição a um intervalo onde a função seja injectiva. Consideraremos então \[y=f(x)=\cosh x, \;\text{ com }\;D_f=\left[0,+\infty\right[\,,\quad C_f=\left[1,+\infty\right[.\] Então, \[x=f^{-1}(y)=\operatorname{argch} y,\; \text{ com }\;D_{f^{-1}}=\left[1,+\infty\right[,\quad C_{f^{-1}}=\left]0,+\infty\right[\,.\] Assim, \(f\) satisfaz as hipóteses do teorema em todos os pontos do intervalo aberto \(I\) se tomarmos \(\displaystyle I=\left[0,+\infty\right[\) e, portanto, \(\displaystyle J=\left]1,+\infty\right[\). Sendo assim, teremos para cada \(y> 1,\) \[\left(\operatorname{argch} y\right)'=\frac{1}{(\cosh x)'}=\frac{1}{\operatorname{senh} x}=\frac{1}{\operatorname{senh}(\operatorname{argch} y)} =\frac{1}{\sqrt{y^2-1}}.\]
Podemos agora combinar com o teorema da função composta:
Exemplos 6. \[\left(e^{\operatorname{arcsen x}}\right)'=\frac{e^{\operatorname{arcsen x}}}{\sqrt{1-x^2}},\quad x\in\left]-1,1\right[,\qquad \left(\operatorname{arctg}(\sqrt{x})\right)'=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{1+(\sqrt{x})^2}=\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)},\quad x\gt 0.\]
Em geral, \[\left(\operatorname{arctg}u(x)\right)'=\frac{u'(x)}{1+u^2(x)}\;\qquad \left(\operatorname{arcsen}u(x)\right)'=\frac{u'(x)}{\sqrt{1-u^2(x)}}\;\qquad \left(\arccos u(x)\right)'=-\frac{u'(x)}{\sqrt{1-u^2(x)}}\]
Veja a definição de máximo relativo e de mínimo relativos de uma função (Definição 3.8.18).
Designamos por mínimo absoluto e máximo absoluto, respectivamente, o mínimo do contradomínio e o máximo do contradomínio, se existirem. Portanto, em caso de existência, o mínimo e o máximo global são únicos. Se \(f(c)\) é um extremo absoluto, então é também um extremo relativo. O recíproco não é verdadeiro: \(f\) pode ter um extremo relativo num ponto \(c\) e, no entanto, \(f(c)\) não ser extremo absoluto. Estude os exemplos 3.8.21 - 3.8.26 e as observações relativas.
Estude o teorema 3.8.20. (veja a demonstração: tem ideias importantes!)
Entenda que, nem a condição \(f'(a)=0\) garante que \(f\) tem extremo local em \(a\), nem essa condição tem que ser satisfeita por todos os extremos locais de \(f\). O que o teorema diz é que um ponto \(a\) interior a \(D_f\) em que \(f\) é diferenciável só pode ser ponto de extremo se \(f'(a)=0\).
Exemplo 7. \(f(x)=x\) no domínio \(D_f=[0,1]\) tem \(\min f(x)=f(0)=0\) e \(\max f(x)=f(1)=1\) (extremos absolutos, logo, relativos). No entanto, não existe nenhum ponto onde \(f'(0)=0.\) Neste caso, os extremos ocorrem nos extremos do domínio, portanto num ponto não interior ao domínio onde não se define derivada e onde, por isso, o teorema não se pode aplicar.
Exemplo 8. \(f(x)=|x|\) no domínio \(D_f=\mathbb{R}\) tem \(\min f(x)=f(0)=0\) (mínimo absoluto, logo, relativo). No entanto, não existe nenhum ponto onde \(f'(0)=0.\) Neste caso, o extremo relativo ocorre num ponto do interior do domínio, mas \(f\) não é diferenciável nesse ponto e, novamente o teorema não se aplica.
Exemplo 9.
A função \(f(x)=x^3\), \(D_f=\mathbb{R}\)) é diferenciável em todos os pontos e \(f'(0)=0\). No entanto, \(f(0)\) não é extremo local. Neste caso temos que perceber o que é que o teorema permite concluir e o que não permite concluir: é uma implicação num só sentido: se \(a\in\overline{D_f}\) é um ponto onde \(f\) é diferenciável, temos, \[f\;\text{ tem extremo local em }\;a\quad\Rightarrow\quad f'(a)=0.\] A implicação \(\Leftarrow\) é falsa, como se viu. No entanto, pelas propriedades lógicas da implicação, é verdade que \[ f'(a)\not=0\quad\Rightarrow\quad f\;\text{ não tem extremo local em }\;a.\] Isto significa que, no estudo dos extremos da função \(f\), a condição \(f'(x)=0\) só serve para identificar candidatos a pontos de extremo no interior do domínio, onde \(f\) é diferenciável, os quais ainda têm que ser analisados por outros processos para podermos concluir se é ou não extremo. À parte destes ainda temos que analisar os pontos nos extremos do domínio (Exemplo 7) e aqueles que, sendo interiores ao domínio, não são contudo pontos de diferenciabilidade de \(f\), uma vez que \(f\) pode ter aí extremos relativos (Exemplo 8).
Perceba que a propriedade de \(f\) ter um extremo relativo num ponto \(a\) é uma propriedade local: só depende da função num vizinhança pequena do ponto. Por isso, também se designam por extremos locais. A propriedade de \(f\) ter extremo absoluto (ou simplesmente "extremo") é já uma propriedade global: tem que ser analisada a função em todo o seu domínio. Por isso, estes extremos também se designam por extremos globais.