Aula teorica 16

Limites de uma função num ponto (conclusão) Funções definidas em intervalos: propriedades globais da continuidade.
O Teorema de Bolzano (ou do valor intermédio). Aplicações.
O Teorema de Weierstrass.
Teorema da continuidade da função inversa.

Limite de uma função num ponto (conclusão).

Teorema Se a função \(f\) é monótona em \(I=]a,b[\), e se \(c\in I\), então existem os limites laterais \(f(c^-)\) e \(f(c^+)\).

Funções contínuas em intervalos. Propriedades globais da continuidade

Estudamos nesta secção propriedades que são consequências da continuidade de uma função em todo um intervalo e, portanto, não basta a continuidade em torno de um ponto.

Recomenda-se também a visualização das aulas em video do Prof. Miguel abtreu [MA]

1 - Comece por ver o significado da expressão "\(f\) é contínua num conjunto \(A\)" na página 60.

2 - Estude o Teorema de Bolzano ou do valor intermédio na página 61.

Na demonstração usa-se um resultado que não foi dado. Veja aqui uma demonstração alternativa usando apenas resultados dados:

É mais uma aplicação do Axioma do supremo.

Vamos supôr, para simplificar ideias, que \(f(a)\lt f(b)\) (pode ver, como exercício, o caso \(f(a)\gt f(b)\)). Tome-se, de acordo com o enunciado, \(k\) tal que \(f(a)\lt k\lt f(b)\).

Defina-se \(A\) como conjunto de todos os pontos \(x\in I\) tais que \[f(x)\lt k\,.\] Então,

\(A\not=\emptyset\): de facto, pela forma como \(k\) foi escolhido, \(a\in A\);

\(A\) é majorado: de facto, \(b\) é um majorante de \(A\).

Logo, pelo axioma do supremo, existe \[c=\sup A.\]

Verifiquemos agora, que \(c\in\left]a,b\right[\) e que, \(f(c)=k.\)

Por definição de supremo, existe uma sucessão \(x_n\in A\) tal que \(x_n\to c\). Mas \(f(x_n)\lt k\), por definição de \(A\), e logo, por continuidade, teremos \[k\gt f(x_n)\to f(c),\] donde concluimos \[f(c)\leqslant k.\] Isto exclui, em particular, a possibilidade \(c=b\), pelo que \(c\lt b\). Mas, por definição de \(A\) e do supremo, temos \[x\in\left]c,b\right[\quad\Rightarrow\quad x\notin A\quad \Rightarrow\quad f(x)\geqslant k\] donde concluimos que \[f(c^+)\geqslant k.\] Combinando os resultados anteriores e usando a continuidade em \(c\), \[k\leqslant f(c^+)=f(c)\leqslant k,\] pelo que, concluimos que \[f(c)=k,\] e, portanto \(c\not=a\), ou seja, \(c\in\left]a,b\right[\).

3 - Estude as importantes consequências deste teorema incluindo os Corolários 3.4.43 e 3.4.44.

Repare que são ambas consequências da continuidade global. Se houver, pelo menos, um ponto em \(I\) onde a função não seja contínua, ou se o domínio não é um intervalo, então, aqueles resultados são falsos em geral:

Exemplo 1. \(f:[-1,1]\to \mathbb{R}\) dada por \(f(x)=-1\) se \(x\in\left]-1,0\right[\), e \(f(x)=1\) se \(x\in [0,1]\). Apesar de \(f(-1)\lt 0\lt f(1)\), não existe \(c\in\left]-1,1\right[\) tal que \(f(c)=0.\) Neste caso, o resultado referido anteriormente não é aplicável porque \(f\) não é contínua em \(I\).

Exemplo 2. \(f:[-1,1]\setminus\{0\}\to \mathbb{R}\) dada por \(f(x)=\dfrac{1}{x}\), para cada \(x\in D_f\). Apesar de \(f(-1)\lt 0\lt f(1)\), não existe \(c\in D_f\) tal que \(f(c)=0.\) Neste caso, o resultado referido anteriormente não se verifica porque, apesar de \(f\) ser contínua (isto significa, contínua em \(D_f\)!), o domínio de \(f\) não é um intervalo.

Ponto fixo de uma função: Veja com atenção o Exemplo 3.4.45 onde se introduz o conceito de ponto fixo de uma função \(f\) como sendo qualquer valor \(c\in D_f\) que satisfaz, \[f(c)=c.\] Estes pontos são investigados usando o Corolário 3.4.44 aplicado à função, \[g(x)=f(x)-x.\] Repare que os pontos fixos de \(f\) são exactamente os zeros de \(g\).

Exemplo 3. A equação \(e^x+\sqrt{x}=\sqrt{2}\) tem, pelo menos, uma solução em \(\left]0,1\right[\). De facto, se \(f(x)=e^x+\sqrt{x}\), então \(f\) é contínua em \(I=[0,1]\), e além disso, \(f(0)=1\), \(f(1)=e+1\gt 2\) e, portanto, \[f(0)\lt\sqrt{2}\lt f(1).\] Logo, o Teorema de Bolzano permite-nos concluir o resultado.

Exemplo 4. Seja \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) dada por \(f(x)=e^x-2.\) Então, \(f\) tem dois pontos fixos em \(\mathbb{R}\). Ou seja, a equação \(f(x)=x\) tem duas soluções. De facto, sendo \(f\) contínua em \(\mathbb{R}\), o mesmo acontecerá com a função \(g(x)=f(x)-x.\;\) Além disso, \[g(0)=-1\lt 0\;,\qquad g(-2)=e^{-2}\gt 0\;,\qquad g(2)=e^2-4\gt 0\,\] e o Corolário 3.4.44 (ou o Teorema de Bolzano) permite-nos concluir que \(g\) tem, pelo menos, um zero em \(\left]-2,0\right[\) e, pelo menos, um zero em \(\left]0,2\right[\), ou seja, \(f\) tem, pelo menos, um ponto fixo em cada um destes intervalos.

NOTA: Para já, não podemos dizer se o número de pontos fixos de \(f\) é exactamente 2. Para isso, teremos que estudar os intervalos de monotonia da função \(g\), o que será feito com base no estudo do sinal da derivada de \(g\).

Exemplo 5. O polinómio \(x^7-x^4+3\) tem contradomínio \(\mathbb{R}\). De facto, seja \(f(x)=x^7-x^4+3,\;\) a qual é contínua em \(\mathbb{R}\). Então, \[\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty\,,\qquad \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty. \qquad \text{(Verifique!)}\] Logo, dado um real arbitrário \(k\), existe sempre um \(a\lt 0\), tal que \(f(a)\lt k,\;\) e um \(b\gt 0,\;\) tal que \(f(b)\gt k.\;\) O teorema de Bolzano permite-nos concluir que existe, pelo menos, um \(c\in\left]a,b\right[\) tal que \(f(c)=k\). Logo, \(k\in C_f\). Como \(k\) é um número real qualquer, concluimos que \(C_f=\mathbb{R}.\)

NOTA: Este é um caso particular do seguinte resultado que se recomenda que demonstre, generalizando o raciocínio deste exemplo:

Exemplo 6. Seja \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) contínua, tal que \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=0\;\) e \(\;\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=2\). Então,

(a)\(\quad\left]0,2\right[\subset C_f\). De facto, seja \(k\in\left]0,2\right[\). Seja \(\varepsilon>0\) tal que, \(\varepsilon\lt k\) e, simultaneamente \(\varepsilon\lt 2-k\). Então, pela definição de limite, existe \(a\lt 0\) tal que \(|f(a)-0|\lt \varepsilon\), e existe \(b\gt 0\) tal que \(|f(b)-2|\lt \varepsilon\), e portanto, \[f(a)\lt \varepsilon\lt k,\qquad\text{ e }\qquad f(b)>2-\varepsilon>k.\] Pelo Teorema de Bolzano, concluimos que existe \(c\in\left]a,b\right[\) tal que \(f(c)=k\). Logo, \(k\in C_f\). Como \(k\) é um ponto arbitrário de \(\left]0,2\right[\), concluimos que \(\left]0,2\right[\subset C_f\).

(b) Com a hipótese adicional de \(f\) ser estritamente crescente podemos concluir que \(C_f=\left]0,2\right[\).

Efectivamente, suponhamos, por absurdo, que existia \(k\leqslant 0\), tal que \(k\in C_f\), ou seja, tal que existia \(c\) para o qual \(f(c)=k.\) Fixe-se \(x_0\lt c\). Então, como \(f\) é estritamente crescente, teríamos \(f(x_0)\lt k\leqslant 0\). Seja \(\varepsilon=|f(x_0)|=-f(x_0)\). Então, para todo \(x\lt x_0\) teríamos \(|f(x)-0|\gt \varepsilon\) contradizendo \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=0\;\). Concluimos que não existe \(k\) naquelas condições.
De igual modo se pode provar que não existe \(k\geqslant 2\) tal que \(k\in C_f\) (Exercício).

Este resultado é um caso particular da seguinte proposição cuja demonstração segue exactamente os mesmos passos:

Proposição. Seja \(f\) uma função contínua no intervalo aberto \(\left]a,b\right[\subset\overline{\mathbb{R}},\;\) tal que existem \(f(a^+)\not=f(b^-)\) em \(\overline{\mathbb{R}}\). Então, \[\left]f(a^+),f(b^-)\right[\subset C_f\quad\text{ se }\quad f(a^+)\lt f(b^-),\qquad \text{ ou }\qquad \left]f(b^-),f(a^+)\right[\subset C_f\quad\text{ se }\quad f(a^+)\gt f(b^-).\] Se \(f\) é estritamente monótona, então a relação \(\subset\) é substituida por igualdade em ambos os casos.

A seguinte proposição é uma outra consequência directa do Teorema de Bolzano. Aliás, pode ser vista como outra forma de enunciar aquele teorema:

Proposição. Funções contínuas transformam intervalos em intervalos, ou seja, se o domínio é um intervalo \(I,\) também a sua imagem \(f(I)\) será um intervalo.

4 - Estude o Teorema de Weierstrass (Teorema 3.4.47) de [AB]

Volte ao início da secção 3.4 e veja o enunciado do Teorema 3.4.41. A conclusão deste teorema está contido no Teorema de Weierstrass que se enuncia de seguida, mas é necessária a sua prévia obtenção, já que é necessário para a demonstração daquele importante teorema.

Depois de relembrar o conceito de máximo e mínimo de uma função (Definição 3.4.46), veja o enunciado do Teorema de Weierstrass (Teor. 3.4.47):

Repare que, uma vez tendo o Teorema 3.4.41, temos que \(f(I)\) é limitado. Logo, existem \(\inf f(I)\) e \(\sup f(I)\). Significa isto que, para completar a demonstração do teorema de Weierstrass só falta mostrar que ambos pertencem a \(f(I).\) A demonstração apresentada em [AB] deste facto, que é o mais habitual na literatura, usa o Teorema de Bolzano-Weierstrass que não foi dado neste semestre. No entanto, dá-se em baixo uma demonstração alternativa:

Demonstração para o caso do máximo.
Seja \(M=\sup f(I)\), o qual sabemos existir pela limitação de \(f(I)\) e pelo axioma do supremo. Admitamos, por absurdo, que \(M\) não é máximo. Isto é equivalente a dizer que \(f(x)\not=M\), para todo \(x\in [a,b]\). Nesse caso, a função \[g(x)=\frac{1}{M-f(x)}\] é uma função contínua e estritamente positiva em \([a,b].\) Logo, é majorada em \([a,b]\) (Teor. 3.4.41, novamente). Ou seja, existe \(K>0\) tal que, para todo \(x\in[a,b]\) \[g(x)\lt K\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1}{M-f(x)}\lt K\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)\lt M-\frac{1}{K}.\] Mas isto é impossível, porque nesse caso \(M\) não seria o menor dos majorantes de \(f(I)\) o que iria contradizer a definição de supremo. Ora, esta contradicção surgiu por admitirmos que \(M\) não era máximo de \(f(I)\). Conclusão: \(M=\max f(I).\)

Sugere-se que faça a demonstração para a existência de mínimo usando o mesmo argumento com a devida adaptação.

5 - Estude os importantes exemplos e observações relativas ao Teorema de Weierstrass 3.4.48-3.4.54

6 - Estude o Teorema da continuidade da função inversa e dedução da continuidade das inversas de funções elementares.

Sintetizo aqui os resultados que nos levam à dedução do teorema da função inversa (Teorema 3.5.60 de [AB]):

Hipóteses: \(f(x)\) é contínua e estritamente monótona no intervalo \(I\).

Teorema da continuidade da função inversa. Seja \(f\) uma função estritamente monótona e contínua num intervalo \(I\). Então, existe a função inversa \(f^{-1}\) definida em \(J=f(I)\) e é contínua em \(J\).

Aula teórica 16