Limite de uma função num ponto (Continuação).
Definição de limite à Heine.
Propriedades do limite.
Limites e operações algébricas.
Limites por enquadramento.
Limite da função composta.
Material de estudo:
[AB] A. Bastos e A. Bravo, Cálculo Diferencial e Integral I.
Texto de apoio às aulas, 2010., páginas 51-54.
[CF] J. Campos Ferreira. Introdução à Análise Matemática, Fundação Gulbenkian, 8a ed., 2005.
Observação importante: Dado que a matéria de hoje continua a diferir um pouco da apresentada no texto online que temos vindo a usar, [AB],
publica-se em baixo um texto alternativo que apresenta a matéria como esta seria dada na aula teórica presencial e que pode ser usado como base de estudo.
Limite de uma função num ponto (continuação).
Limite segundo Heine.
Na aula anterior definiu-se o conceito de limite de uma função \(f\) num ponto \(a\):
\[\lim_{x\to a}f(x)=b\,.\]
Diremos que esta será a definição de limite segundo Cauchy.
A seguinte definição, que designaremos por definição de limite segundo Heine, expressa a ideia de que, sempre que \(x\to a\), então \(f(x)\to b\), seja como for a "forma como \(x\) se aproxima de \(a\)". Esta ideia intuitiva, mas imprecisa,
é rigorosamente traduzida na forma de sucessões. Por essa razão também aparece na literatura com a designação de definição de limite sequencial.
Definição (limite segundo Heine).
Seja \(f:D_f\to \mathbb{R}\) e \(a\in\overline{D_f}\). Diz-se que, segundo Heine,
\[\lim_{x\to a}f(x)=b\]
sse para qualquer sucessão \(x_n\in D_f\), tal que \(\lim x_n=a\), temos \(\lim f(x_n)=b\).
Teorema (equivalência entre as definições de limite).
Seja \(f:D_f\to \mathbb{R}\) e \(a\in\overline{D_f}\). Então,
\[\text{definição de limite segundo Cauchy}\quad\Longleftrightarrow\quad\text{definição de limite segundo Heine}.\]
Cauchy \(\,\Longrightarrow\,\) Heine:
Seja \(b=\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\;\) segundo Cauchy. Vimos na aula anterior que podem ocorrer duas situações: \(a\in D_f\), ou \(a\in \overline{D_f}\setminus D_f\).
No primeiro caso, seja \(F=f\). No segundo caso, seja \(F\) o prolongamento por continuidade de \(f\) a \(a\), cuja existência foi estabelecida na última aula.
Em ambos os casos, \(a\in D_F\,,\) \(F\) é contínua em \(a\,\), e \(F(a)=b\). Pelas propriedades da continuidade vistas duas aulas atrás, para qualquer sucessão \(x_n\in D_f\) temos,
\[x_n\to a \quad\Rightarrow\quad f(x_n)=F(x_n)\to F(a)=b,\]
como queríamos demonstrar.
Heine \(\,\Longrightarrow\,\) Cauchy:
Suponhamos que, qualquer que seja a sucessão \(x_n\in D_f\), se tem,
\[\lim x_n=a \quad\Rightarrow \quad \lim f(x_n)=b\,.\]
Separemos em dois casos. Primeiro caso: \(a\in D_f\):
Se tomarmos, a sucessão constante \(x_n=a\), teremos que \(\lim f(x_n)=\lim f(a)=f(a)\),
donde concluimos que, necessariamente, \(b=f(a)\), ou seja, para qualquer sucessão \(x_n\in D_f\),
Logo, como vimos duas aulas atrás, \(f\) é contínua em \(a\)
e então, pela aula anterior sabemos que \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)=b\;\) (à Cauchy),
como queríamos demonstrar.
Segundo caso: \(a\in\overline{D_f}\setminus D_f\).
Defina-se,
\[F(x)=\begin{cases}
f(x)\,, &\text{ se }x\in D_f\\
b\,, &\text{ se }x=a
\end{cases}\]
Notemos que,
\[\lim x_n=a \quad\Rightarrow \quad \lim F(x_n)=b\,.\]
Isto, porque os termos da sucessão \(x_n\in D_F\) satisfazem \(x_n=a\) ou \(x_n\in D_f\). Tomando a subsucessão dos primeiros,
teremos \(F(x_n)=F(a)=b\to b\). Tomando a subsucessão dos segundos, teremos, \(F(x_n)=f(x_n)\to b\), pela hipótese do limite à Heine.
Logo, a implicação é válida. Concluimos desta forma, pelas propriedades da continuidade vistas duas aulas atrás, que \(F(x)\)
é contínua em \(a\). Sendo então o prolongamento por continuidade de \(f\) a \(a\), concluimos, pelos resultados da aula anterior, que necessariamente,
\(b=F(a)=\lim_{x\to a}f(x)\,,\) (à Cauchy) como queríamos demonstrar.
Cauchy \(\,\Longrightarrow\,\) Heine:
Seja \(b=\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\) o limite segundo Cauchy e, seja \((x_n)\) uma sucessão qualquer de termos em \(D_f\) tal
que \(\lim x_n=a\).
Combinamos em seguida as definições de limite de uma função (à Cauchy) e de limite de uma sucessão:
Dado \(\delta>0\) (escolhido de forma arbitrária), existe \(\varepsilon>0\) (dependente de \(\delta\)), tal que,
\[x\in D_f\quad\wedge\quad |x-a|<\varepsilon\quad \Rightarrow\quad |f(x)-b|<\delta.\]
Existe uma ordem \(p\in\mathbb{N}\), tal que, para qualquer natural \(n\),
\[n\gt p\quad\Rightarrow\quad |x_n-a|<\varepsilon.\]
Logo, das duas expressões anteriores, facilmente se depreende que,
\[n\gt p\quad\Rightarrow\quad |f(x_n)-b|<\delta,\]
o que significa, de acordo com a definição de limite de uma sucessão,
\[\lim f(x_n)=b,\]
como queríamos demonstrar.
Heine \(\,\Longrightarrow\,\) Cauchy:
Esta implicação é equivalente a (~ Cauchy \(\Longrightarrow\) ~ Heine). É esta que vamos provar, mostrando que, se \(b\) não é \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\) (~ Cauchy), então
existe, pelo menos, uma sucessão \(x_n\in D_f\) tal que \(\lim x_n=a\), mas não verificando \(\lim f(x_n)=b\;\) (~ Heine).
Da negação da definição à Cauchy, depreende-se que existe um \(\delta\gt 0\), tal que, seja qual for \(\varepsilon>0\), é sempre possível encontrar \(x\in D_f\) tal
que \(|x-a|\lt\varepsilon,\) mas \(|f(x)-b|\geqslant\delta.\)
Tomando atrás, sucessivamente \(\varepsilon=1/n\) e o correspondente valor \(x=x_n\), \(n=1,2,3,\dots\), temos que,
\[|x_n-a|\lt\frac{1}{n}\to 0\,\quad\text{e, }\, |f(x_n)-b|\geqslant \delta.\]
Logo, temos \(\lim x_n=a\), sendo falso que \(\lim f(x_n)=b\), como queríamos demonstrar.
Exemplo 1. \(f(x)=x-1\), com \(D_f=\mathbb{R}\).
Seja \(a\in\mathbb{R}\) e suponhamos que \(x_n\to a\). Então,
\[f(x_n)=x_n-1\;\to\; a-1\quad \text{e, logo, }\quad\lim_{x\to a}f(x)=a-1.\]
É claro que, alternativamente, usando os resultados da aula anterior, podíamos ter argumentado que, sendo \(f(x)\) uma função polinomial, ela é contínua em \(\mathbb{R}\)
e, portanto, o limite pedido é dado por \(f(a)=a-1\),
Exemplo 2. \(f(x)=|x|\), com \(D_f=\mathbb{R}\).
Seja \(a \gt 0\). Se \(x_n\to a\), existe uma ordem \(p\) tal que, para \(n>p\), temos \(x_n\gt 0\) e, nesse caso,
\[f(x_n)=|x_n|=x_n \;\to\; a\quad \text{e, logo, }\quad\lim_{x\to a}f(x)=a.\]
Seja \(a \lt 0\). Neste caso, se \(x_n\to a\), existe uma ordem \(p\) tal que, para \(n\gt p\), temos \(x_n\lt 0\) e,
\[f(x_n)=|x_n|=-x_n \;\to\; -a\quad \text{e, logo, }\quad\lim_{x\to a}f(x)=-a.\]
Seja \(a = 0\). Já sabemos que \(x_n\to 0\) é equivalente a \(|x_n|\to 0\), e nesse caso,
\[f(x_n)=|x_n| \;\to\; 0\quad \text{e, logo, }\quad\lim_{x\to 0}f(x)=0.\]
Em qualquer dos casos, Temos,
\[
\lim_{x\to a}f(x)=|a|\,.
\]
Também se pode aplicar aqui uma observação semelhante à do exemplo 1.
Exemplo 3. \(f(x)=\begin{cases}x-1, & \text{ se }x\geqslant 1\\ x+1, & \text{ se }x\lt 1\end{cases}\;\), com \(\;D_f=\mathbb{R}\).
Vejamos o caso \(a=1\). Considerem-se as duas sucessões \((x_n)\) e \((y_n)\) seguintes, ambas com limite 1:
(uma vez que \(x_n\gt 1\) e \(y_n \lt 1\)). Como \(\lim x_n=\lim y_n=1\), mas, \(\lim f(x_n)\not=\lim f(y_n)\), concluimos que
\(\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)\) não existe.
Também podíamos ter considerado logo a sucessão \(x_n=1+\frac{(-1)^n}{n}\) e, neste caso, \(f(x_n)\) não teria limite (verifique!), o que nos permitia tirar a mesma conclusão.
(Veremos que, para este caso, a não existência de limite pode ser obtida de outra forma, recorrendo a limites laterais.)
Exemplo 4. \(\,\displaystyle f(x)=\cos\frac{1}{x}\;\), com \(\;D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). (Pode ver o gráfico em
https://www.desmos.com/calculator)
Vejamos o caso \(a=0\in \overline{D_f}\setminus D_f\). Considerem-se as duas sucessões \((x_n)\) e \((y_n)\) seguintes, ambas com limite 0:
Como \(\lim x_n=\lim y_n=0\), mas, \(\lim f(x_n)\not=\lim f(y_n)\), concluimos que
\(\displaystyle \lim_{x\to 1}\cos\frac{1}{x}\) não existe.
Também podíamos ter considerado logo a sucessão \(\displaystyle x_n=\frac{1}{n\pi}\) e, neste caso, \(f(x_n)\) não teria limite (verifique!), o que nos permitia tirar a mesma conclusão.
Reparem que usamos duas estratégias diferentes para provar que há limite ou provar que não há limite:
no primeiro caso temos que considerar uma sucessão qualquer e, no segundo,
basta dar um exemplo de uma sucessão \(x_n\to a\) mas com \(f(x_n)\) não convergente,
ou duas sucessões \(x_n,y_n\), com o mesmo limite \(a\) mas \(f(x_n),f(y_n)\) com diferentes limites.
Propriedades do limite
As seguinte propriedades são importantes e as suas demonstrações são elementares. Não as vamos fazer, mas indicamos a ideia subjacente:
O limite, se existir é único. Pode-se concluir da unicidade de limite de sucessões.
Se existe \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=b\in\mathbb{R}\) então \(f\) é limitada numa vizinhança de \(a\). Portanto, se \(f\) é contínua em \(a\) então,
é limitada numa vizinhança de \(a\). Pode obter esta propriedade directamente da definição de limite dada na aula anterior.
O \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\) só depende dos valores de \(f(x)\) numa vizinhança de \(a\). Por isso se diz que a continuidade é uma propriedade
local: se \(f(x)=g(x),\) para todo o \(x\) numa vizinhança de \(a\), então, se existir um dos limites seguintes o outro também existe e verificam
\[\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)\]
Logo, se uma da funções é contínua em \(a\) a outra também é. É esta propriedade que garante que, uma função dada por ramos por
\[
f(x)=\begin{cases}
g_1(x),&\text{ se }x\geqslant a\\
g_2(x),&\text{ se } x\lt a
\end{cases}
\]
em que \(g_1\) e \(g_2\) são contínuas (em domínios contendo \([a,+\infty[\) e \(]-\infty,a[\), respectivamente), será também contínua em qualquer \(x\not=a\)
(para cada um desses pontos \(x\),
\(f\) coincide com uma das funções \(g_1\) ou \(g_2\), numa vizinhança desse ponto. Em \(a\), usaremos os limites laterais para decidir sobre o limite nesse ponto.)
Exemplo 5. \(f(x)=\begin{cases}e^x, &\text{ se }x\leqslant 0,\\ \dfrac{1}{x}, &\text{ se }x \gt 0. \end{cases}\quad\) \(D_f=\mathbb{R}\).
Para cada \(x_0\lt 0\), \(f(x)=e^x\) numa vizinhança desse ponto. Como a exponencial é contínua em \(\mathbb{R}\), concluimos que \(f\) é contínua em \(x_0\).
Para cada \(x_0\gt 0\), \(f(x)=\frac{1}{x}\) numa vizinhança desse ponto. Como \(\frac{1}{x}\) é contínua em \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), concluimos
que \(f\) é contínua em \(x_0\).
Em \(x=0\) a função \(f\) não é limitada em nenhuma vizinhança de \(0\), logo, não é contínua em \(0\).
Conclusão o conjunto de pontos onde \(f\) é contínua é \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\).
Limites e operações algébricas
Vejamos agora resultados que nos permitem calcular facilmente limites e estabelecer continuidade de funções. No resultado seguinte, consideramos, como antes,
a definição ponto a ponto da soma, produto, e quociente de funções. Assim, por exemplo, dadas duas funções \(f\) e \(g\), a função \(f+g\) define-se como sendo a função
de domínio \(D_{f+g}=D_f\cap D_g\) tal que, para cada \(x\in D_{f+g},\)
\[(f+g)(x)=f(x)+g(x)\,.\]
Por exemplo, se \(f(x)=e^x\) e \(g(x)=\sqrt{x}\), então \(D_{f+g}=[0,+\infty[\) e é dada, para cada \(x\in D_{f+g}\), por
\[(f+g)(x)=e^x+\sqrt{x}.\]
Para o produto é análogo. Para o quociente, \(D_{\frac{f}{g}}=D_f\cap D_g \setminus \{x\in D_g: g(x)=0\}.\)
Teorema (limite e operações algébricas). Se \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=b\) e \(\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=c\), com
\(a\in\overline{D_f\cap D_g}\), então,
\(\displaystyle\lim_{x\to a}(f+g)(x)=b+c\)
\(\displaystyle\lim_{x\to a}(fg)(x)=bc\)
\(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f}{g}(x)=\frac{b}{c}\), se \(c\not=0\)
Podemos usar a relação entre limites e continuidade juntamente com a propriedade de continuidade da soma de duas funções contínuas.
Alternativamente, podemos usar o limite segundo Heine:
Seja \(x_n\in D_{f+g}\) tal que \(\lim x_n=a\). Então, sabemos que
\(\lim f(x_n)=b\) e que \(\lim g(x_n)=c\). Então, pela propriedade da convergência da soma de duas sucessões convergentes, teremos,
\[\lim (f+g)(x_n)=\lim (f(x_n)+g(x_n))=b+c.\]
Logo, \[\lim_{x\to a}(f+g)(x)=b+c.\]
Nesta aula apenas consideramos limites em \(\mathbb{R}\). Na próxima, alargamos o conceito de limite de forma a abranger limites infinitos e, portanto, teremos que suplementar
o teorema anterior com estes casos.
Limites por enquadramento
Usando o teorema das sucessões enquadradas e a definição de limite de função à Heine, é fácil estabelecer o seguinte resultado muito útil:
Teorema (Limite por enquadramento) Seja \(a\in \overline{D_h}\cap\overline{D_g}\cap\overline{D_f}\) , tal que,
\(\displaystyle\lim_{x\to a}h(x)=\lim_{x\to a}g(x)=b\in\mathbb{R}\) e tais que, numa vizinhança de \(a\),
\[h(x)\leqslant f(x)\leqslant g(x).\]
Então, \[\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=b\,.\]
Uma consequência é a seguinte proposição que pode ser enunciada como, o produto de um infinitésimo com uma função limitada é um infinitésimo:
Proposição Se \(g\) é limitada numa vizinhança de \(a\) e \(\displaystyle\lim_{x\to a}h(x)=0\), então,
\(\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)h(x)=0\).
Exemplo 8. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}x\operatorname{sen}\frac{1}{x}=0,\;\) porque, \(-|x|\leqslant x\operatorname{sen}\frac{1}{x}\leqslant |x|\), e
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}(-|x|)= \lim_{x\to 0}|x|=0.\) (Reparem que se usaram módulos para contemplar o caso \(x\lt 0\).)
Exemplo 9. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}(1-\cos x)\cos\frac{1}{x}=0,\;\) porque, \(\cos\frac{1}{x}\) é uma função limitada (entre -1 e 1), e
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}(1-\cos x)=0.\)
Exemplo 10. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}x^2\left(\operatorname{tg}x+\operatorname{sen}\frac{1}{x}\right)=0,\;\)
porque, sendo \(\operatorname{tg}x\) contínua em \(0\), então é limitada numa vizinhança de \(0\) (não no seu domínio!). Como \(\operatorname{sen}\frac{1}{x}\)
é limitada (entre -1 e 1), então, podemos dizer que \(\operatorname{tg}x+\operatorname{sen}\frac{1}{x}\) é limitada numa vizinhança de \(0\).
Como, \(\displaystyle\lim_{x\to 0}x^2=0\), concluimos o resultado.
Limite da função composta
O seguinte resultado é muito útil e permite-nos fazer mudanças de variável ao calcular limites:
Teorema (Limite da função composta) Seja \(a\in\overline{D_g}\) e \(b\in\overline{D_f}\). Se \(\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=b,\;\) e
\(\;\displaystyle\lim_{y\to b}f(y)=c,\;\) então,
\[\lim_{x\to a}f(g(x))=\lim_{y\to b}f(y)=c.\]
Usamos a definição à Heine: seja \(x_n\in D_g\) tal que \(x_n\to a\). Então teremos \(g(x_n)\to b,\) uma vez que \(\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=b.\)
Como \(\displaystyle\lim_{y\to b}f(y)=c,\;\) fazendo \(y_n=g(x_n)\), temos também \(f(g(x_n))=f(y_n)\to c.\)