Aula teórica 13

Limite de uma função num ponto. Definição.
Limites de funções e continuidade.
Prolongamentos por continuidade.

Material de estudo:

Observação importante: o conceito de limite introduzido nesta disciplina difere ligeiramente do apresentado no texto de apoio [AB], mas coincide com o do livro [CF]. Sobre esse assunto veja a observação no fim deste guia de estudo. Por esse motivo, disponibiliza-se em baixo um texto que servirá de alternativa às páginas 55-59 do texto [AB]. Note, contudo, que essa diferença será irrelevante nas situações que se nos depararão no resto da matéria.

Limite de uma função num ponto.

Definição.

Desde o ensino secundário já conhecem a expressão \[\lim_{x\to a}f(x)=b\,,\]

que se lê: "\(b\) é o limite de \(f(x)\) quando \(x\) tende para \(a\)", ou mais simplesmente, "\(b\) é o limite de \(f(x)\) em \(a\)".

A ideia intuitiva de limite pode ser dada pela seguinte frase, a qual é muito parecida com a que foi usada na aula anterior para expressar a ideia de continuidade:

  • "O número \(b\) é o limite da função \(f(x)\) em \(a\) quando, para garantir que \(f(x)\) esteja próximo de \(b\), basta garantir que \(x\) esteja suficientemente próximo de \(a\)."
  • Como se percebe rapidamente, esta afirmação, embora corresponda a uma ideia intuitiva correcta, é muito imprecisa (objectivamente, o que significa "próximo" e "suficientemente próximo", por exemplo?). A primeira parte desta aula será dar um sentido preciso a este conceito de limite. Ou seja, defini-lo.

    Para começar, note que no símbolo atrás figuram 3 objectos: uma função \(f(x)\) e dois reais \(a\) e \(b\).

    Seja então \(f:D_f\to\mathbb{R}\) uma função dada.

    Começemos por ver para que pontos \(a\) fará sentido discutir o conceito de limite. Queremos discutir o limite de \(f(x)\) não só em pontos de \(D_f\) mas também naqueles que, embora não pertencentes a \(D_f\), possam ser aproximados por pontos deste conjunto (de alguma forma estão "encostados" a \(D_f\)). Assim, por exemplo, logo à partida não fará sentido falar de \(\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)\) quando \(f(x)=\sqrt{x-1}\), mas já fará sentido falar do mesmo limite quando \(f(x)=\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}\), embora \(0\) não pertença ao domínio de nenhuma das duas funções. Introduzimos estes pontos na definição seguinte:

    Definição (ponto aderente) Seja \(A\) um conjunto de reais qualquer. Dizemos que um real \(a\) é um ponto aderente a \(A\) sse, para qualquer vizinhança-\(\varepsilon\) de \(a\), \(V_{\varepsilon}(a)\), se tem, \[V_{\varepsilon}(a)\cap A\ne\emptyset\,.\]

    Dito de outra forma: há pontos de \(A\) arbitrariamente próximos do ponto \(a\).

    Exemplos: Seja \(A=]0,1]\). Então, \(0\), \(\dfrac{1}{2}\) e \(1\) são pontos aderentes a \(A\), enquanto que \(-1\) e \(2\) já não o serão.

    Repare o facto ilustrado por este exemplo de que qualquer ponto de um conjunto \(A\) é, ele próprio, um ponto aderente a \(A\).

    Definição (aderência de um conjunto) A aderência de um conjunto \(A\), a qual designamos por \(\overline{A}\), é o conjunto de todos os pontos aderentes ao conjunto \(A\).

    Exemplos: \begin{align*} A&=]0,1]\quad \Rightarrow\quad \overline{A}=[0,1],\\ A&=[0,1]\quad \Rightarrow\quad \overline{A}=[0,1],\\ A&=\mathbb{R}\setminus\{0\}\quad\Rightarrow\quad \overline{A}=\mathbb{R},\\ A&=\mathbb{Q}\quad\Rightarrow\quad \overline{A}=\mathbb{R},\\ A&=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\quad\Rightarrow\quad \overline{A}=\mathbb{R}\,. \end{align*}

    Podemos agora definir o limite. Sejam dados uma função \(f:D_f\to\mathbb{R}\) e um ponto \(a\in\overline{D_f}\). Vamos precisar um pouco mais a ideia contida na "definição" pouco precisa do início deste guia:

    A ideia base daquela "definição" é que, para garantir que \(f(x)\) "não se afaste de \(b\)" mais do que \(\delta\) (um "nível de exigência"), basta controlar a distância de \(x\) a \(a\), bastando para isso, garantir que \(x\) se mantenha a uma distância de \(a\) inferior a uma certa "tolerância", \(\varepsilon\), a qual, em príncipio, será tanto menor quanto menor for \(\delta\) (ou seja, "quanto maior for o grau de exigência"). Esta mesma afirmação tem que se verificar para qualquer nível de exigência \(\delta\).

    Por outro lado, relembre que dizer que "\(f(x)\) está a uma distância de \(b\) inferior a \(\delta>0\)" é afirmar que \(|f(x)-b|<\delta\). De igual forma, dizer que "\(x\) está a uma distância de \(a\) inferior a \(\varepsilon>0\)" é afirmar que \(|x-a|<\varepsilon\).

    Sendo assim, a definição rigorosa de limite que corresponde àquela ideia posta de forma imprecisa no início é a seguinte:

    Definição (limite de uma função num ponto). Seja \(f:D_f\to\mathbb{R}\) e \(a\in\overline{D_f}\). Diz-se que, para um certo real \(b\), \[ \lim_{x\to a}f(x)=b, \] sse, para qualquer \(\delta>0\), existe \(\varepsilon>0\), tal que, para cada \(x\in D_f\) se tenha, \[|x-a|<\varepsilon\quad\Rightarrow \quad |f(x)-b|<\delta.\]

    Demonstra-se, mas não o vamos fazer, que se este limite existir ele é único, o que torna a expressão \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\) bem definida, ou seja, em caso de existência ela representa um real bem preciso.

    Exemplos de uso directo da definição:

    Exemplo 1. Considere a função \[f(x)=\frac{2x^2-2}{x-1}\,\quad\text{ com domínio }D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}.\] Vamos ver que \(\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=4:\)

    Para começar, notemos que \(1\in\overline{D_f}\). Seja \(x\in D_f.\) Vejamos o que significa para \(x\) a condição \(|f(x)-4|<\delta\): \[\left|\frac{2x^2-2}{x-1}-4\right|=|2(x+1)-4|=|2x-2|=2|x-1|.\] Logo, para que a condição \(|f(x)-4|<\delta\) seja cumprida, basta que \(2|x-1|<\delta\), ou seja, que \(|x-1|<\dfrac{\delta}{2}\). Repare que esta escolha é sempre possível, não interessa quão pequeno é \(\delta.\) Vejamos então que está satisfeita a definição de limite:

  • Seja \(\delta>0\) qualquer. Escolhendo \(\varepsilon=\dfrac{\delta}{2}\) teremos, para qualquer \(x\in D_f\) que, se \(|x-1|<\varepsilon\), então \(|f(x)-4|<\delta\), como queríamos demonstrar.
  • Exemplo 2. Considere a função \(f(x)=\sqrt{x}\), com domínio \(D_f=[0,+\infty[.\) Seja \(a\geqslant 0\). Demonstremos que \[\lim_{x\to a}\sqrt{x}=\sqrt{a}.\] Prosseguindo com a mesma estratégia do exemplo anterior, vejamos, em termos de condições sobre \(x\), como podemos garantir que \(|f(x)-\sqrt{a}|<\delta\): \[|\sqrt{x}-\sqrt{a}|=\left|\frac{x-a}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\right|\leqslant \frac{|x-a|}{\sqrt{a}},\] Logo, dado \(\delta>0\) arbitrário, a condição \(|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\delta\) é cumprida se \(\frac{|x-a|}{\sqrt{a}}<\delta\), ou seja, se \(|x-a|<\delta\sqrt{a}\). Assim,

  • dado \(\delta>0\) arbitrário, escolhendo \(\varepsilon=\delta\sqrt{a}\), teremos que, para \(x\in D_f\), se \(|x-a|<\varepsilon\) então, \(|f(x)-\sqrt{a}|<\delta\), como queríamos demonstrar.
  • Exemplo 3. Um exemplo de não existência de limite. Considere a seguinte função de domínio \(D_f=\mathbb{R}\) vulgarmente designada por função de Heaviside: \[ f(x)= \begin{cases} 0, &\text{ se }x\lt 0\\ 1, &\text{ se }x\geqslant 0 \end{cases} \] Provemos, usando a definição, que esta função não tem limite em \(a=0\). Façamo-lo por absurdo: suponhamos que existia \(\displaystyle b=\lim_{x\to 0}f(x)\). Então, de acordo com a definição de limite, tomando por exemplo, \(\delta=\dfrac{1}{2}\), existiria \(\varepsilon>0\) tal que, para todo \(x\in\left]-\varepsilon,\varepsilon\right[\) se teria \(|f(x)-b|<\dfrac{1}{2}\). Mas isto significaria que, \[ \begin{align*} x\in\left]-\varepsilon,0\right[ \Rightarrow |0-b|<\dfrac{1}{2}\,,\\ x\in\left[0,\varepsilon\right[ \Rightarrow |1-b|<\dfrac{1}{2}\,. \end{align*} \] Como ambas as condições se teriam que verificar simultaneamente, teríamos então necessariamente que \[b\in \left]-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right[\;\cap\;\left]\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}\right[=\emptyset,\] o que, obviamente, é absurdo. Logo, a hipótese admitida de que existe o limite considerado é falsa.

    Mais à frente veremos uma forma mais simples de provar a não existência de limite neste caso, quando estudramos os limites laterais.

    Aconselha-se o estudo do exercício resolvido 1. da lista [LF], como um exemplo extra.

    Limite de funções e continuidade.

    Seja novamente \(f:D_f\to\mathbb{R}\) e \(a\in\overline{D_f}\). Reescrevamos a definição dada atrás de \[\lim_{x\to a}f(x)=b\] para \(b\in\mathbb{R}\), usando a linguagem simbólica dos quantificadores: \[\forall_{\delta>0}\exists_{\varepsilon>0}\forall_{x\in D_f}\; |x-a|<\varepsilon\;\Rightarrow \; |f(x)-b|<\delta.\]

    Compare com a definição de continuidade dada na aula anterior (definição 3.2.15 das notas [AB]). Repare nas únicas diferenças:

  • Na definição de continuidade exige-se que \(a\in D_f\), enquanto que, na definição de limite, poderá ocorrer \(a\in\overline{D_f}\) com \(a\notin D_f\).
  • Na definição de continuidade o valor do limite, \(b\), é substituido pela imagem \(f(a)\).
  • Ora, isto significa de imediato que, se \(a\in D_f\) e \(f\) é contínua no ponto \(a\), então, \[\lim_{x\to a}f(x)=f(a).\] No entanto, podemos demonstrar um resultado mais forte:

    Teorema (equivalência entre continuidade e existência de limite) Seja \(a\) um ponto do domínio \(D_f\). Então, são equivalentes as duas afirmações 1) e 2) seguintes:
    1) a função \(f\) é contínua no ponto \(a\);
    2) existe \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x).\)

    \(1)\;\Rightarrow\; 2)\):

    A demonstração deste sentido da implicação é basicamente a observação que precede o enunciado deste teorema.

    \(2)\;\Rightarrow\; 1)\):

    Esta implicação é equivalente à implicação \(\;\sim 1)\;\Rightarrow\;\sim 2)\), ou seja, se a função não é contínua em \(a\) então não existe \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\). Provemos esse facto.

    Argumentemos por absurdo, assumindo a hipótese

    (H) \(f\) não é contínua em \(a\) (isto é, verifica-se \(\sim 1)\)) mas existe \(b=\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\) (isto é, verifica-se \(\;2)\)).

    Então, \(b\neq f(a)\) (pois, \(b=f(a)\;\Rightarrow\; f \text{ é contínua em }a\), por substituição directa na definição de limite).
    Então, tomando \(\delta=|f(a)-b|>0\), teremos que, para qualquer \(\varepsilon>0\), existe sempre \(x\in D_f\) tal que, \[|x-a|<\varepsilon\;\wedge\; |f(x)-b|\geqslant \delta\,.\]

    De facto, veja que \(x=a\) satisfaz a afirmação anterior.

    Ou seja, para o \(\delta>0\) escolhido não existe um valor de \(\varepsilon>0\) que garanta a implicação na definição de limite. Ou seja, não pode existir \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\) o que é absurdo por contrariar a hipótese (H). Esta contradicção surgiu por admitirmos a hipótese (H), logo, ela é falsa, como queríamos demonstrar.

    Sendo assim, no caso em que \(a\in D_f\), a simples existência de limite de \(f\) em \(a\) implica imediatamente que a função seja contínua nesse ponto e que esse limite é necessariamente o valor \(f(a)\).

    Vejamos os 3 exemplos da secção anterior: o teorema anterior não se aplica ao Exemplo 1, já que nesse caso, \(1\notin D_f\). No Exemplo 2, ao usarmos o teorema anterior, confirmamos a continuidade da função \(f(x)=\sqrt{x}\) em todos os pontos do seu domínio. No Exemplo 3, concluimos que \(f(x)\) não é contínua em \(a=0\).

    Prolongamento por continuidade

    Tomemos o exemplo 1 da primeira secção. Nesse caso, não fazia sentido falar da continuidade de \(f(x)\) no ponto \(1\) dado que \(1\notin D_f\), muito embora exista \(\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)\). Notemos, no entanto, que, impondo a restrição \(x\not=1\), temos que \[f(x)=\frac{2x^2-2}{x-1}=2(x+1).\] Temos então por um lado, a função \(f\) dada, com domínio \(D_f=\mathbb{R}\setminus \{1\}\). Por outro lado, temos a função \(F\) definida por \(F(x)=2(x+1)\) com domínio \(D_F=\mathbb{R}\). São duas funções diferentes na medida em que o domínio de \(F\) tem um ponto a mais do que o domínio de \(f\). No entanto, nos pontos do domínio de \(f\) ambas coincidem. Dizemos então que \(F\) é um prolongamento de \(f\) ao ponto \(x=1\). Além disso, como \(F\) é contínua no ponto \(x=1\), dizemos que a função \(F\) é um prolongamento por continuidade de \(f\) ao ponto \(x=1\).

    Definição (prolongamento por continuidade) Considere-se uma função \(f\) e um ponto \(a\notin D_f\). Seja \(F\) uma função tal que \(D_F=D_f\cup\{a\}\) e tal que \(F\) é contínua em \(a\). Dizemos então que a função \(F\) é um prolongamento por continuidade de \(f\) ao ponto \(a\). Se \(f\) admite um prolongamento por continuidade ao ponto \(a\), dizemos que \(f\) é prolongável por continuidade ao ponto \(a\).

    Mais alguns exemplos:

    Exemplo 4. \(f(x)=\dfrac{x^2}{x}\), e nesse caso, \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). A função \(F(x)=x\,\), com \(D_F=\mathbb{R}\,,\) é prolongamento por continuidade da função \(f\) ao ponto \(x=0\).

    Exemplo 5. \(f(x)=\dfrac{x^2}{|x|}\), e nesse caso, \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). A função \(F(x)=|x|\,\), com \(D_F=\mathbb{R}\,,\) é prolongamento por continuidade da função \(f\) ao ponto \(x=0\).

    Exemplo 6. \(f(x)=\dfrac{|x|}{x}\), e nesse caso, \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). A função de domínio \(D_F=\mathbb{R}\) dada por \[F(x)=\begin{cases} -1, & x\lt 0\\ 1, & x\geqslant 0,. \end{cases}\] é um prolongamento de \(f\) ao ponto \(0\), mas não é um prolongamento por continuidade de \(f\) a \(0\) (não é uma função contínua em \(x=0\)).

    Nos exemplos 1, 4 e 5, casos em que \(a\notin D_f\), foi fácil explicitar prolongamentos por continuidade por resolução directa. No entanto, poderemos ter casos em que não seja fácil ou mesmo possível decidir sobre a existência de prolongamento por continuidade por explicitação de uma expressão conhecida, como naqueles exemplos. Um caso destes, para já, é, por exemplo, \(f(x)=\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}\). Precisamos então de um critério geral que nos dê uma resposta nesses casos:

    Teorema (existência de prolongamento por continuidade) Seja \(f:D_f\to \mathbb{R}\) tal que \(a\in\overline{D_f}\), mas \(a\notin D_f\). Então as seguintes afirmações 1) e 2) são equivalentes:
    1) a função \(f\) é prolongável por continuidade ao ponto \(a\);
    2) existe \(b=\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\).

    Em caso de existência, esse prolongamento por continuidade é a função \(F\) de domínio \(D_F=D_f\cup\{a\}\) dada por, \[F(x)=\begin{cases} f(x)\,, &\text{ se }x\in D_f\\ b\,, &\text{ se }x=a \end{cases}\] onde \(b\) é o valor do limite acima.

    1)\(\;\Rightarrow\;\) 2):

    Suponhamos que \(f\) é prolongável por continuidade ao ponto \(a\) e que \(F\) é esse prolongamento por continuidade. Sendo, por definição, \(F\) contínua em \(a\) podemos dizer que \[\displaystyle\lim_{x\to a}F(x)=F(a)\,.\] Mas, se \(\displaystyle\lim_{x\to a}F(x)\) existe, podemos concluir que também \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\) existe e tem o mesmo valor (veja que o conjunto de pontos \(x\) nos quais é válida a implicação na definição de limite de \(F\) contem o conjunto de pontos que têm que satisfazer essa implicação para que \(f\) tenha esse mesmo limite: são os mesmos pontos acrescidos do ponto \(a\)). Logo, \[\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=F(a).\] Ou seja, 2) é verdadeira, bem como a expressão para \(F(x)\).

    2)\(\;\Rightarrow\;\) 1):

    Suponhamos que existe \(b=\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\), e seja \(F(x)\) dada como no enunciado. Veja novamente a implicação na definição de limite. Como existe o limite de \(f\) sabemos que essa implicação é válida para todo \(x\in V_{\varepsilon}(a)\cap D_f\). Mas então, também é válida para todo \(x\in V_{\varepsilon}(a)\cap D_F\), uma vez que \(D_F=D_f\cup\{a\}\), e a implicação é trivial para \(x=a\) (porque, de acordo com a definição de \(F\) dada, \(F(a)=b\)). Logo, \(F\) é contínua em \(a\) e, portanto, é prolongamento por continuidade de \(f\) ao ponto \(a\). Logo, 1) é verdadeira.

    Veja a aplicação deste resultado aos exemplos 1, 4, 5 e 6 acima. Em particular, no exemplo 6, a não existência de \(\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)\) (a qual pode ser obtida pela definição, como o fizemos com a função de Heaviside, ou usando limites laterais como o faremos na próxma aula) implica que \(f\) não é prolongável por continuidade ao ponto \(0\) neste caso.

    Admitindo sem prova, para já, o seguinte limite notável, \[\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}=1,\] concluimos que a função \(f(x)=\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}\) de domínio \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\) admite o seguinte prolongamento por continuidade ao ponto \(0\): \[F(x)=\begin{cases} \dfrac{\operatorname{sen} x}{x}\,, &\text{ se }x\neq 0\\ 1\,, &\text{ se }x=0 \end{cases}\]

    Na próxima aula começaremos por concluir a relação entre limites e continuidade, com uma enumeração de várias das suas consequências importantes.

    Observação geral: em vários textos como, por exemplo, nas notas [AB], embora a definição de continuidade seja universal, a definição de limite pode ser ligeiramente diferente: em vez da condição \(|x-a|<\varepsilon\) considera-se \(0<|x-a|<\varepsilon\), ou seja, exclui-se o ponto \(x=a\). Não vamos por agora discutir esse assunto em detalhe, mas previne-se os alunos que, no caso em que \(a\in D_f\) a equivalência entre continuidade e existência de limite pode ser falsa quando se exclui o ponto \(a\) na defiição de limite. Voltaremos a falar sobre esta questão quando estudarmos limites relativos.