Aula teórica 11

Funções reais de variável real.
Domínio e contradomínio. Soma, produto, quociente de funções. Função composta.
Gráfico de uma função.
Funções limitadas. Funções monótonas e estritamente monótonas. Funções pares e funções ímpares.
Funções elementares I: funções polinomiais e funções racionais.

Material de estudo:

Esta aula constitui-se essencialmente como uma aula de revisão de conceitos aprendidos no ensino secundário. Assim, relembra-se a noção de função e os conceitos a ela associados que são enumerados no sumário desta aula.

Todo o conteúdo desta aula encontra-se exposto e muito bem explicado no livro [CF] acima, nas páginas 231-239. Para rever os conceitos de função, domínio, contradomínio, soma, produto, quociente e composta de funções, em alternativa, veja a referência [AB] acima. Aconselha-se também que vejam as aulas em vídeo do Prof. Miguel Abreu respeitantes às funções elementares (aulas 5.1 e 5.2 e ínicio da 6.) disponíveis no link acima em [MA]. Como ajuda à revisão dos outros conceitos, apresenta-se em baixo um resumo dos mesmos.

Consideremos uma função \(f:D_f\to\mathbb{R}\). Estamos a dizer que o conjunto de reais \(D_f\) é o domínio da função \(f\), e que o seu contradomínio, \(C_f\), é um subconjunto de \(\mathbb{R}\). Dado \(A\subset D_f\) designamos por \(f(A)\) o conjunto das imagens por \(f\) dos objectos em \(A\), isto é: \[f(A)=\{f(x):\;x\in A\}\,.\] É óbvio que \(f(A)\subset C_f\) e que, em particular, \(C_f=f(D_f)\).
Exemplo: Se \(f(x)=|2x|\), com \(D_f=\mathbb{R}\) e \(C_f=[0,+\infty[\), então \(f([-1,2])=[0,4]\).

  • Gráfico de \(f\): é o seguinte conjunto de pares ordenados \[G(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\; x\in D_f \wedge y=f(x)\}.\] O eixo horizontal, onde está representada a variável \(x\) designa-se por eixo das abcissas e o eixo vertical, onde está representada a variável \(y\) designa-se por eixo das ordenadas.

  • A função \(f\) diz-se minorada, majorada ou limitada sse o conjunto \(C_f\) fôr, respectivamente, minorado, majorado ou limitado. Em particular, \(f\) é limitada sse existem dois reais \(m\) e \(M\) tais que \[\forall x\in D_f\,,\quad m \leqslant f(x)\leqslant M\,.\] Em termos do gráfico de \(f\), isto significa que \(f\) é limitada sse \(G(f)\) está compreendido numa faixa entre duas rectas horizontais \(y=m\) e \(y=M\).
    Define-se, quando existam, \(\sup f=\sup C_f,\,\) \(\inf f=\inf C_f,\,\) \(\min f=\min C_f,\,\) \(\max f=\max C_f,\).
    Exemplo: Seja \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dada por \(f(x)=1-x^2\). A função \(f\) é majorada, não minorada e, logo, não limitada e, \(\sup f=\max f=1\), não existindo (em \(\mathbb{R}\)), nem \(\inf f\), nem \(\min f\).

  • Seja \(A\subset D_f\).
    A função \(f\) diz-se crescente em \(A\) sse, para quaisquer \(x_1,x_2\in A\), \[x_1>x_2\;\Rightarrow\; f(x_2)\geqslant f(x_1)\,.\] A função \(f\) diz-se decrescente em \(A\) sse, para quaisquer \(x_1,x_2\in A\), \[x_1>x_2\;\Rightarrow\; f(x_2)\leqslant f(x_1)\,.\] A função \(f\) diz-se monótona em \(A\) sse é crescente ou decrescente em \(A\).
    Se \(A=D_f\) nos casos anteriores, diz-se simplesmente que \(f\) é, respectivamente, crescente ou decrescente. Em qualquer desses casos diz-se, simplesmente, que \(f\) é monótona.
    Se a relação \(\geqslant\), no caso crescente (em \(A\)), ou \(\leqslant\), no caso decrescente (em \(A\)), fôr substituida, respectivamente, por \(>\) ou por \(<\), diz-se que \(f\) é, respectivamente, estritamente crescente (em \(A\)) ou estritamente decrescente (em \(A\)) e, em qualquer um destes casos, diz-se estritamente monótona (em \(A\)).
    Relembre que uma função é injectiva sse, para quaisquer \(x_1,x_2\in D_f\), \[f(x_1)=f(x_2)\,\quad \text{sse}\quad x_1=x_2\,.\] Logo, é fácil verificar a implicação \[f \text{ é estritamente monótona }\quad \Rightarrow\quad f \text{ é injectiva}.\] Observe que a implicação recíproca (\(\Leftarrow\)) é falsa. Como contraexemplo pode considerar a função \(f:[-1,1[\to\mathbb{R}\) dada por, \[ f(x)=\begin{cases} x+1, & \text{ se }\;-1\leqslant x\leqslant 0,\\ x-1, & \text{ se }\; \,0< x< 1. \end{cases} \] Trata-se de uma função injectiva mas não monótona. Exercício: esboçe o gráfico.

  • A função \(f\) diz-se par sse \(f(-x)=f(x)\), e ímpar sse \(f(-x)=-f(x)\), para todo \(x\in D_f\), assumindo que o domínio \(D_f\) é simétrico relativamente à origem.
    Exemplos: \(f(x)=x^2\) é par, e \(f(x)=x^3\) é ímpar, ambas em \(\mathbb{R}\). Já \(f(x)=x+1\) não é nem par nem ímpar.

    • Mais exemplos:

    1) \(f(x)=x^2+1\) é par, minorada, \(\min f=1\) (minimizante em \(x=0\)), não majorada, decrescente em \(]-\infty,0]\), crescente em \([0,+\infty[\), \(C_f=f(\mathbb{R})=[1,+\infty[.\)

    2) \(f(x)=(x-1)^3\) não é par nem ímpar, (no entanto, é simétrica relativamente a \(x=1\)), não minorada nem majorada, crescente, \(C_f=f(\mathbb{R})=\mathbb{R}\).

    3) \(f(x)=\dfrac{1}{x}\), \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\), é ímpar, não majorada, não minorada, decrescente em \(]-\infty,0[\) e em \(]0,+\infty[,\) não monótona (!), \(C_f=f(\mathbb{R}\setminus\{0\})=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

    Observação importante: Veja que, no caso 3), a função é decrescente em cada um dos intervalos \(]-\infty,0[\) e \(]0,+\infty[,\) mas não decrescente em \(]-\infty,0[\cup]0,+\infty[.\) Ou seja, pelo facto de uma função ser decrescente (ou crescente) em dois conjuntos, não se depreende que o mesmo seja verdade na sua união.

  • A grande maioria das funções que consideraremos neste curso serão dadas por somas, produtos, quocientes e composição das chamadas funções elementares: e suas inversas.

  • Funções polinomiais: são funções do tipo \[f(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n\,\] onde \(a_0,a_1,\dots,a_n\) são constantes reais. Relembre que \(D_f=\mathbb{R}\) e veja que, no caso de \(n\) ímpar, \(C_f=\mathbb{R}\) (justificaremos este facto rigorosamente). Relembre que \(f\) pode ter, no máximo, \(n\) zeros diferentes. Relembre a factorização polinomial e o gráfico das funções \(f(x)=x^p,\; p\) par e \(p\) ímpar. Sobreponha, no mesmo gráfico, os casos \(p=1,2,3,4\).

  • Funções racionais: são do tipo \(f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}\), onde \(p(x)\) e \(q(x)\) são polinomiais. O seu domínio é dado por \(D_f=\{x\,:\; q(x)\not=0 \}\). Represente num mesmo desenho, os gráficos sobrepostos de \(\dfrac{1}{x^p},\) para \(p=1,2,3,4.\)

    • Reparem que, exceptuando os casos das polinomiais e racionais (que só envolvem somas, produtos e quocientes) não sabemos defini-las, nem calculá-las rigorosamente, ainda.

    NOTA: Assumiremos conhecidas as principais propriedades destas classes de funções, algumas delas veremos / justificaremos ao longo do semestre. É IMPORTANTE reverem estas classes e relembrarem os seu gráficos.