Limites em \(\overline{\mathbb{R}}\).
Generalização das propriedades dos limites.
Indeterminações. Escala de sucessões.
Material de estudo:
Em aulas anteriores foi definida a noção de limite de uma sucessão.
Nesta aula generaliza-se esse conceito a certas sucessões sem limite no sentido dado anteriormente.
O conjunto de possíveis limites passa a incluir \(-\infty\) e \(+\infty\). Designamos por recta acabada o conjunto,
\[\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}\,,\]
e as sucessões que tiverem limite neste conjunto, de acordo com a nova definição, diremos que são convergentes em \(\overline{\mathbb{R}}\).
Pode usar como base de estudo a referência [AB] acima.
Tenha em atenção os seguintes pontos:
1 - A definição de \(u_n\to +\infty\) (ou \(-\infty\)), formalmente é exactamente a mesma que a de \(u_n\to a\), substituindo a vizinhança \(V_{\varepsilon}(a)\) pela vizinhança \(V_{\varepsilon}(+\infty)\) (ou \(V_{\varepsilon}(-\infty)\)) tal como definida na página 28 de [AB]. Estude a aplicação da definição, tal como está escrita no início da página 29, a casos concretos, os quais poderão ser os exercícios resolvidos 13.a) e b) (páginas 18-19) da lista [Su].
2 - Veja de que forma o Teorema 2.3.37 de [AB] generaliza o Teorema das Sucessões Monótonas e Limitadas, o qual dizia respeito à noção de convergência introduzida anteriormente em \(\mathbb{R}\).
3 - Perceba bem o conceito de "forma indeterminada" ou "indeterminação", o qual se depreende das exclusões aos resultados gerais do início da página 28 de [AB].
Vejamos, por exemplo, o caso \(0\cdot(+\infty)\). Dizer que este caso é uma indeterminação significa dizer que,
se soubermos apenas que \(\lim u_n=0\) e que \(\lim v_n=+\infty\), nada podemos concluir sobre \(\lim(u_n\cdot v_n)\), nem sequer sobre a sua existência.
Essa indeterminação obviamente desaparece no momento em que forem conhecidas as sucessões \((u_n)\) e \((v_n)\).
Vejamos os seguintes exemplos que correspondem todos a este caso:
\begin{align*}
u_n=\frac{1}{n}\,,\qquad v_n=n\,,\qquad &\lim(u_n\cdot v_n)=1\,,\\
u_n=\frac{1}{n^2}\,,\qquad v_n=n\,,\qquad &\lim(u_n\cdot v_n)=0\,,\\
u_n=\frac{1}{n}\,,\qquad v_n=n^2\,,\qquad &\lim(u_n\cdot v_n)=+\infty\,,\\
u_n=\frac{(-1)^n}{n}\,,\qquad v_n=n\,,\qquad &\lim(u_n\cdot v_n) \text{ não existe}\,.
\end{align*}
Compare este caso com, por exemplo, o caso determinado \(2\cdot 1\), isto é, o caso em que, mesmo não conhecendo as sucessões \((u_n)\) e \((v_n)\),
sabemos que \(\lim u_n=2\) e \(\lim v_n=1\). Podemos afirmar imediatamente que \((u_n\cdot v_n)\) é convergente e que \(\lim u_n\cdot v_n=2\).
Para entender melhor este conceito e vêr vários exemplos para os outros casos indeterminados, veja as páginas 136-140 do livro [CF].
4 - Veja que as proposições 2.3.38 e 2.3.39 só permitem tirar conclusões sobre algumas sucessões estritamente positivas com limte \(0\) ou \(+\infty\). Note que, para qualquer sucessão estritamente positiva \((u_n)\) com \(\lim u_n=a\) e \(a\ne 0,+\infty\), se tem \(\lim\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{a}{a}=1\).
5 - As proposições 2.3.38 e 2.3.39 são muito importantes para a resolução de algumas indeterminações \(\frac{0}{0}\) e \(\frac{\infty}{\infty}\). Veja os exemplos 2.3.40 e 2.3.41.
6 - A escala de sucessões na página 30 de [AB] é fundamental para resolver um grande número de indeterminações. Espera-se que os alunos a interiorizem e apliquem sem dificuldade no cálculo de limites que envolvam quocientes entre sucessões daquele tipo ou com elas comparáveis.
7 - Para exemplos de cálculo de limites em \(\overline{\mathbb{R}}\) que ilustrem os pontos acima referidos, veja os exercícos resolvidos 15.a) - h) da lista [Su].
8 - Além das indeterminações anteriores, existem outras 3:
\[1^{\infty}\,,\qquad 0^0\,,\qquad \infty^0\,.\]
De momento não nos debruçaremos sobre elas mas é importante saberem que, de facto, se tratam de indeterminações. De importância fundamental é o caso
\(1^\infty\). Para mostrar que se trata de uma indeterminação no sentido realçado no ponto 3 acima, basta ver os dois exemplos seguintes:
\begin{align*}
u_n=1\,, \text{ (sucessão constante) }\qquad v_n=n\,,\qquad &\lim u_n^{v_n}=\lim 1=1\,,\\
u_n=1+\frac{1}{n}\,,\qquad v_n=n\,,\qquad &\lim u_n^{v_n}=\lim\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\,,
\end{align*}
onde \(e=2.71828\dots\), é um número irracional conhecido como número de Neper.
A Proposição 2.3.42 de [AB], a qual está excluida da matéria da disciplina neste semestre, serve precisamente para resolver algumas indeterminações tipo \(0^0\) e \(\infty^0\,.\)
Veremos que, no contexto dos limites de funções, poderemos lidar com indeterminações deste tipo usando a regra de Cauchy.