Equações Diferenciais Parciais — 2º Semestre de 2025/2026

Avisos

As aulas começam no dia 19 de fevereiro.

Programa

Equações de primeira ordem: A equação do transporte: casos homogéneo e não homogéneo. Equações lineares e quase lineares: o método das características para o problema de Cauchy. Leis de conservação unidimensionais. Aplicação à dinâmica do tráfego rodoviário (ondas de choque). Referência à noção de solução fraca neste contexto.

Equações lineares de segunda ordem: Classificação das equações diferenciais parciais lineares de segunda ordem em dimensão dois: equações parabólicas, elípticas e hiperbólicas. Noções breves sobre características e solução do problemas de Cauchy: enunciado e aplicações do teorema de Cauchy–Kovalevskaya. As equações de Laplace e de Poisson: solução fundamental, solução em todo o espaço, princípio do máximo, propriedade do valor médio, unicidade da solução de problemas de valor na fronteira. Funções harmónicas: estimativas para as derivadas e analiticidade. Função de Green e fórmula de Poisson na bola. Desigualdade de Harnack. Princípio de Dirichlet. A equação do calor: solução fundamental e núcleo do calor, princípio do máximo e unicidade da solução do problema de valor inicial e de fronteira. Conservação da massa. Fórmula de Duhamel. A equação das ondas: solução de D’Alembert em dimensão um. Fórmula de Duhamel. Domínios de dependência e de influência. Solução do problema de Cauchy nas dimensões dois e três. Métodos de energia para as equações de Poisson, do calor e das ondas.

Distribuições e espaços de Sobolev Breve introdução à teoria das distribuições. Espaços de Sobolev e as suas propriedades básicas. Desigualdades de Sobolev. O espaço W₀^m,p(U), onde U é um conjunto aberto de R^N. Desigualdade de Poincaré. A noção de traço. O teorema de extensão. Caracterização do espaço dual H^-1(U).

Teoria das soluções fracas para problemas elípticos Problemas elípticos: operadores elípticos de segunda ordem, formulação fraca. Aplicação dos teoremas de Riesz e de Lax–Milgram à resolução de problemas elípticos com diferentes tipos de condições de fronteira. Resultados de regularidade: regularidade interior e na fronteira em L². Enunciados para o caso geral.

Bibliografia

Principal

• H. Tavares, Partial Differential Equations

Secundária

• Evans, Partial Differential Equations
• Salsa, Partial Differential Equations in Action
• Brézis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations

Avaliação

Avaliação contínua: Trabalhos de casa semanais com um peso de 50% na nota final (caso seja favorável). Trabalhos de casa atrasados não serão aceites.

Exame final: Peso de 50% ou de 100% na nota final (consoante o caso mais favorável). Pode ser realizado nas duas datas, contando sempre a melhor nota.

Exercícios

• Ficha 1 (a entregar até à aula de sexta-feira dia 27 de Fevereiro)

Exames

• 1º exame

Podem encontrar testes e exames de anos anteriores nas páginas de Equações Diferenciais Parciais de:

• Prof. Hugo Tavares
• Prof. Pedro Girão