(LMAC, MMA e PDM - Área de Geometria)
1º Semestre 2005/06
Programa detalhado:
Parte 1: Álgebras de Lie (14 aulas de 90 minutos)
1. Definição e primeiros exemplos; as álgebras
de Lie clássicas [H,§1]
2. Derivações; ideais; homomorfismos e
representações
[H,§2]
3. Álgebras simples, semisimples, nilpotentes e resolúveis
[H,§3]
4. Teoremas de Engel, Lie e Cartan [H,§4]
5. A forma de Killing, critério de Cartan [H,§5]
6. Reducibilidade completa; lema de Schur; o Casimir; teorema de Weyl
[H,§6]
7. Representações de sl(2,C);
pesos e vectores máximos [H,§7]
8. Decomposição de Cartan; subálgebras de Cartan,
sistemas de raízes [H,§8]
9. Axiomática dos sistemas de raízes [H,§9]
10. Grupo de Weyl; raízes simples e sistemas irredutíveis
[H,§10]
11. Matrizes de Cartan; diagramas de Dynkin e sua classificação
[H,§11]
12. Realização dos diagramas de Dynkin; o teorema de existência [H, §§12, 18]
13. Teorema do isomorfismo; teoria dos pesos [H, §§14, 13]
14. Pesos e representações irredutíveis [H,§20]
Parte 2: Grupos de Lie (12 aulas de 90 minutos)
1. Definição e primeiros exemplos; os grupos de Lie
clássicos [BD,I.1]
2. Campos vectoriais invariantes e subgrupos a um parâmetro [BD,I.2]
3. Relação entre álgebras e grupos de Lie [BD,I.2]
4. A aplicação exponencial [BD,I.3]
5. Espaços homogéneos e grupos quociente [BD,I.4]
6. Integração invariante [BD,I.5]
7. Representações; módulos semisimples [BD,II.1,2]
8. Caracteres e relações de ortogonalidade [BD,II.3,4]
9. Representações de SU(2) e de grupos abelianos [BD,II.5,8]
10. O anel das representações e o anel dos caracteres
[BD,II.7]
11. Análise em grupos compactos e o teorema de Peter-Weyl [BD,III.1,2,3]
12. Aplicações do teorema de Peter-Weyl [BD,III.4,5]
Bibliografia Essencial:
| [H] | J. Humphreys, "Introduction to Lie Algebras and Representation Theory", Springer GTM 9, 1972. |
| [BD] | T. Bröcker, T. Dieck, "Representations of compact Lie groups", Springer GTM 98, 1985. |
| [F] | W. Fulton, J. Harris, "Representation Theory", Springer, 1991. |
| [K] | A. Knapp, "Lie groups beyond an introduction", Birkhauser, 1996 |
| [V] | V.S. Varadarajan, "Lie Groups, Lie Algebras, and their Representations", Springer-Verlag, 1974 |
| [W] | F. Warner, "Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups", Springer Verlag, 1996. |
Avaliação:
50 % - 5 Fichas de problemas.
Para mais informações contactar o Prof. Carlos Florentino. Tel. 218417127, e-mail: cfloren@math.ist.utl.pt